Упражнения
Постройте графики функций:
1)
+1;
2)
;
3) 
;
4)
.
Контрольные вопросы
Какая функция называется степенной?
Какие свойства имеет степенная функция, если n = 1?
Какие свойства имеет степенная функция, если n = 2k, kN?
Какие свойства имеет степенная функция, если n = 2k + 1, kN?
Раздел 8. Неравенства
§ 1. Числовые неравенства
Неравенство это выражение, у которого между левой и правой частями может стоять знак > (больше), или < (меньше), или (больше или равно), или (меньше или равно).
Пример:
;
;
;
это неравенства.
Виды неравенств
Если неравенство содержит (имеет) знаки > или <, то это строгое неравенство.
Если неравенство содержит знаки или , то это нестрогое неравенство.
Если неравенство содержит
два знака > или <, то это двойное
неравенство
(
или
).
Пример:
.
Два неравенства, которые содержат одинаковые знаки, называются неравенствами одинакового знака.
Пример:
и
это неравенства одинакового знака.
и –10<3
это тоже неравенства одинакового знака.
Два неравенства, которые содержат разные знаки, называются неравенствами противоположного знака (знака).
Пример: и –10<3 это неравенства противоположного знака.
Числовое неравенство это неравенство, которое в левой и правой части содержит только действительные числа.
Действительные числа можно
показать (изобразить) на числовой оси.
Если два числа а и b изображены точками
на числовой оси и точка, которая
соответствует числу «а», лежит справа
от точки, которая соответствует числу
«b», то
(рис. 8.1).
П
усть
а и b
числа, а
R, b
R, тогда:
,
если
;
Рисунок 8.1
, если
положительное число;
, если отрицательное число.
Свойства числовых неравенств
Пусть а R, b R, с R.
1. Если
,
то
.
2. Если
и
,
то
.
3. Если к обеим частям неравенства прибавить одинаковое число, то знак неравенства не изменится.
Если
,
то
.
Следствие. Член неравенства можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком.
Если
,
то
.
4. Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если
и
,
то
и
.
5. Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Если
и
,
то
и
.
Если
,
то
.
Действия над числовыми неравенствами
1. Сложение неравенств
Два неравенства одинакового знака можно почленно сложить. Получим неравенство того же знака:
или
.
2. Вычитание неравенств
Два неравенства противоположного знака можно почленно вычитать. Получим неравенство, которое имеет знак первого неравенства:
или
.
3. Умножение неравенств
Два неравенства одинакового знака с положительными членами можно почленно умножать. Получим неравенство того же знака.
Если
,
и
,
,
то
.
4. Деление неравенств
Два неравенства противоположного знака с положительными членами можно почленно делить. Получим неравенство, которое имеет знак первого неравенства.
Если
и
,
,
,
то
.
5. Возведение неравенства в степень
Обе части неравенства с положительными членами можно возвести в степень n, n N. Получим неравенство того же знака.
Если
,
и n
N, то
.
6. Извлечение корня из неравенства
Из обеих частей неравенства с положительными членами можно извлечь корень степени n, n N. Получим неравенство того же знака.
Если
,
,
n
N, то
.
Слова и словосочетания: нера́венство, стро́гое нера́венство, нестро́гое нера́венство, нера́венства одина́кового зна́ка, нера́венства противополо́жного зна́ка, изменя́ть (не изменя́ть) знак нера́венства, изменя́ть знак нера́венства на противополо́жный; почле́нно умно́жить, почле́нно раздели́ть, возвести́ нера́венство в сте́пень, извле́чь ко́рень из нера́венства; сравни́ть–сра́внивать (что? с чем?); дать–дава́ть (что?), да́нный (какой?).