V. Решение систем, которые содержат иррациональные выражения

В таких системах используют метод решения иррациональных уравнений и метод ввода новых переменных.

Пример 1: D(х, у):

Введем новые переменные

тогда

Подставим u, v из первого уравнения во второе, получим

Решаем второе уравнение и находим ;

Ответ: {(16; 1)}.

Пример 2: D(х, у):

Возведем первое уравнение системы в квадрат:

.

Подставим в полученное уравнение значение из второго уравнения: .

Снова возведем в квадрат полученное уравнение:

Система уравнений примет вид

Упростим первое уравнение:

Ответ: {(– 9; 25), (5; 4)}.

Слова и словосочетания: нелине́йное уравне́ние, систе́ма нелине́йных уравне́ний, симметри́чные уравне́ния.

Упражнения

Решите систему уравнений:

А. 1) 2) Б. 1) 2)

3) 4) 3) 4)

Ответы: А. 1) {(3; – 4), (4; – 3)}; 2) {(6; 9), (– 9; – 6)};

3) ; 4) {(2; 3), (51; – 46)}.

Б. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Контрольные вопросы

1. Какая система уравнений называется нелинейной?

2. Что является решением системы уравнений?

3. Какие основные методы решения систем нелинейных уравнений вы знаете?

Раздел 7.Функции

§ 1. Функция

Пусть X и Y – множества. X = {a, b, c} и Y = {1, 2, 3, 4} (рис. 7.1).

Рисунок 7.1

Между элементами множеств X и Y можно установить соответствия (рис. 7.2, 7.3, 7.4, 7.5):

Рисунок 7.2 Рисунок 7.3

Рисунок 7.4 Рисунок 7.5

Н а рис. 7.3 и 7.4 каждому элементу из множества X соответствует только один элемент из множества Y. Это функции. На рис. 7.2 и 7.5 такого соответствия нет.

Функция – это соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу из множества X соответствует только один элемент из множества Y.

Функцию можно записать формулой y=f(x), которую читают «игрек равен эф от икс».

х

Рисунок 7.6

– это аргумент, у – это функция.

Способы задания функций

Есть 3 способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

1. Аналитический способ: функцию задают формулой.

Пример: y=x².

2. Табличный способ: функцию задают таблицей.

Пример:

x = n	-2	-1	0	1	2
y = n2	4	1	0	1	4

3. Графический способ: функцию задают графиком функции y=f(x) в системе координат хОу (рис. 7.6).

Область определения функции D(f) – это множество значений аргумента х, для которых функция существует (имеет смысл).

Пример: 1) y = x² + 5, D(f) = (– ∞; +∞).

2) , D(f) = [0; +∞).

Множество значений функции E(f) – это множество значений у, которые соответствуют множеству аргументов из области определения D(f).

Пример: 1) y = x², E(f) = [0; +∞).

2) , E(f) = (– ∞; 0)(0; +∞).

Слова и словосочетания: фу́нкция, соотве́тствовать (чему?), соотве́тствие, установи́ть соотве́тствие, аналити́ческий спо́соб, табли́чный спо́соб, графи́ческий спо́соб, гра́фик, систе́ма координа́т, о́бласть определе́ния фу́нкции, мно́жество значе́ний фу́нкции.