Контрольные вопросы
Как формулируется теорема Виета?
Что называется корнем многочлена?
Как найти корни многочлена?
Как разложить на множители квадратный трехчлен?
§ 3. Биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним
Биквадратное уравнение
это уравнение вида
,
где
.
Введем новую переменную y.
Тогда
.
Получим уравнение вида
.
Если
,
то
.
Значит,
Итак, если
и
,
то биквадратное уравнение имеет четыре
корня:
,
Если
и
,
то биквадратное уравнение имеет только
два действительных корня. Если
и
,
то биквадратное уравнение не имеет
действительных корней.
Метод ввода новой переменной (еще используют термин «замена переменной») часто применяют при решении уравнений.
Слова и словосочетания: биквадра́тное уравне́ние; уравне́ние, приводи́мое к квадра́тному уравне́нию; ввод но́вой переме́нной, заме́на переме́нной.
Упражнения с решениями
Решите биквадратные уравнения:
а)
.
Введём новую переменную
.
Тогда уравнение примет вид:
.
;
Ответ:
.
б)
.
Введём новую переменную
.
Тогда уравнение примет вид
,
;
Ответ:
{
}.
Решите уравнения методом ввода новой переменной:
а)
.
Заметим, что в каждых скобках
переменная х входит только в виде
.
Введем новую переменную
.
Получим уравнение
,
.
Найдем корни уравнения (по
теореме Виета):
,
.
Ответ:
.
б)
.
D(х):
,
;
Возведем обе части равенства в квадрат:
.
Подставим оба выражения в исходное уравнение, получим
;
Ответ:
.
Упражнения
Решите уравнения:
А. 1)
2)
3)
4)
5)
|
6)
7)
8)
|
;
;
;
;
;
;
;
.
Б. 1)
3)
5)
|
2)
4)
6)
|
;
;
;
;
;
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Ответы: А. 1) {±3; ±1}; 2) {±0,5; ±3}; 3) {1; – 1; – 4; – 6}.
Б. 1) {1; 2};
2) {– 1}; 3) {0,25}; 4) {1; – 2
};
5) {3; 3;
};
6) {– 2; – 1; 2
}.
Контрольные вопросы
Какое уравнение называется биквадратным?
Как называется метод решения биквадратных уравнений?
При каком условии биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня?
§ 4. Иррациональные уравнения
Иррациональное уравнение это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня.
это иррациональные уравнения.
При решении иррациональных
уравнений в случае корней четных
степеней, рассматривают только
арифметические корни (т.е.
и
).
Чтобы решить иррациональное уравнение нужно:
освободиться от иррациональности в левой и правой частях уравнения;
решить полученное уравнение;
сделать проверку и исключить «посторонние корни».
Пример:
Решите уравнение
.
х > 3.
Чтобы освободиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат:
.
Полученное уравнение может
не быть равносильным исходному, т. к.
,
а уравнение
не равносильно исходному.
Решим уравнение
.Выполним проверку исходного уравнения:
или
Ответ:
.
Слова и словосочетания: иррациона́льное уравне́ние, посторо́нний ко́рень, прове́рка.