§ 2. Теорема виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теорема Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство:  общий вид приведённого квадратного уравнения.

По формуле (1):

Найдем сумму корней этого уравнения:

.

Найдем произведение корней этого уравнения:

Получим

Теорема Виета верна и для уравнения общего вида:

,

.

С помощью теоремы Виета можно быстро решать элементарные квадратные уравнения.

Пример. Решите уравнение: .

Решение. По теореме Виета: и . Корнями уравнения могут быть делители числа 6, это числа 1, 2, 3, 6. Очевидно, что корни этого уравнения будут 2 и 3.

Ответ: {2, 3}.

По теореме Виета можно также составить квадратное уравнение, если мы знаем его корни.

Пример. Составьте квадратное уравнение, если его корни 5 и – 3.

Решение. Пусть , , тогда

,

.

Квадратное уравнение имеет вид .

Ответ: .

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – это многочлен вида ах² + bх + с, где а ≠ 0.

Корнем многочлена с одной переменной называется значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю.

Чтобы найти корень многочлена, необходимо этот многочлен приравнять к нулю и решить полученное уравнение.

Пример. Найдите корни многочленов:

а) .

Решение. Решим уравнение: 2х– 3 = 0, 2х = 3, х =1,5.

1,5 – это корень двучлена.

б) .

Решение. Решим уравнение:   , , .

– 2; 0; 2 – это корни многочлена.

г) .

Решение. Решим уравнение: х²– 5х+6 = 0  х = 2, х = 3.

2 и 3 – это корни трехчлена.

Пусть трехчлен имеет корни и . Докажем, что этот трехчлен можно разложить на множители так:

. (3)

Преобразуем правую часть: .

Мы видим, что левая часть равенства (3) равна правой.

Итак,

Если трехчлен имеет только один корень, то его тоже можно разложить на множители: .

Слова и словосочетания: теоре́ма, соста́вить– составля́ть, квадра́тный трехчле́н, ко́рень многочле́на.

Упражнения с решениями

1. Решите уравнение: х² − 5х − 6 = 0.

Решение. По теореме Виета х₁∙х₂ = − 6 и х₁ + х₂ = 5.

Делители числа 6 − это числа: 1, 2, 3 и 6.

Корнями уравнения будут – 1 и 6.

Ответ: {−1; 6}.

2. Разложите на множители трехчлен .

Решение. Найдем корни трехчлена. Для этого решим уравнение:

,

,

, .

Разложим многочлен на множители: .

3. Составьте квадратное уравнение, если его корни: = 5; .

Решение. По теореме Виета – р = 5 + (− 6) = − 1  р = 1; q = 5∙( − 6) = − 30.

Составим уравнение: .

Упражнения

1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

1) 2х² − 9х + 10 = 0; 4) 3х² − 8х + 10 = 0;

2) 5х² + 12х + 7 = 0; 5) 4у² − 19 = 0;

3) х² − 37х + 27 = 0; 6) х² − 210х = 0.

2. Составьте квадратное уравнение по его корням:

1) 3 и 10; 3) 2− и 2+ ;

2) −7 и −4; 4) 5−3 и 5+3 .

3. Разложите на множители трехчлены:

1) 4х² − 9х + 5; 4) х²−х−3;

2) 4b² − 9b + 7; 5) 2у²−5у+8;

3) − 3у² + 8у + 11; 6) 16а² − 24а + 9.

4. Сократите дроби:

1) ; 2)  ; 3) ; 4)  ; 5)  ; 6) .

5. Составьте квадратное уравнение, корни которого в два раза больше корней уравнения .

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на единицу больше корней уравнения .

7. Найдите k для каждого уравнения, если , где и − корни уравнения:

1) ; 2) ; 3) .