Линейные уравнения с модулем
Если линейное уравнение содержит переменную под знаком модуля, то оно называется линейным уравнением с модулем.
Решениями уравнения
есть те значения х на
числовой прямой, расстояние до которых
от 0 равно а.
Рассмотрим числовую прямую (рис. 5.1):
Рисунок 5.1
Примеры:
Решить уравнение:
1.
.
Решение:
.
Ответ:
.
2.
.
Решение. Обозначим
тогда
т.
е.
5х – 4 = 41 или 5х – 4 = –41
5х = 45 5х = –37
х = 9 х =
.
Ответ:
.
3.
.
Решение. Обозначим
тогда
т.
е.
9 – 4х = 3 или 9–4х = –3
–4х = –6 –4х = –12
х = 3.
Ответ:
.
Новые слова и словосочетания: лине́йное уравне́ние, о́бщий вид, переме́нная в пе́рвой сте́пени, уравне́ние с мо́дулем.
Упражнения
А
1. Решите уравнения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
;
10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
.
2. Решите уравнения путем разложения левой части уравнения на множители:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
3. Решите уравнения:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
.
Б
1. Решите уравнения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
2. Решите буквенные уравнения, в которых переменная обозначена буквой х. Найденные корни проверьте.
1)
;
2)
;
3)
.
3. Решите уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Ответы: А. 1.
1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
;
11)
;
13)
;
15)
.
2. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
.
3. 1)
;
3)
;
4)
;
5)
;
7)
;
9)
.
4. 1) (3; 1); 3) (3; 2); 5) (1;
–5); 7) (2; 1); 9) (2,5; –2).
Б. 1. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
.
2. 1)
;
3)
.
3. 1)
;
3)
;
5) {Ø}.
Контрольные вопросы
Какое уравнение называется линейным?
Что значит исследовать уравнение?
Сколько корней могут иметь линейные уравнения?
§ 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными Линейные уравнения с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными это уравнение вида ax + by = c , где a и b – коэффициенты при переменных, с – свободный член, x и y – переменные.
Решение уравнения ax
+ by = c есть пара чисел
,
которые обращают уравнение в верное
равенство.
Например: уравнение 2x + y = 10
имеет решения (1; 8); (–3; 16); (
;
9).
Таких пар можно написать очень много.
Говорят, что уравнение ax + by = c имеет бесконечное множество решений и называется неопределенным уравнением.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Несколько уравнений, в которых одинаковые переменные обозначают одинаковые числа, образуют систему уравнений.
– это общий вид системы двух
линейных уравнений с двумя переменными,
где
,
,
,
–
коэффициенты при переменных x и y,
и
– свободные члены.
Решить систему уравнений – значит найти множество общих решений для обоих уравнений.
Общих решений может быть одно, бесконечное множество или ни одного. Систему двух линейных уравнений с двумя переменными можно решать несколькими способами.
Рассмотрим три возможных случая решения такой системы.
Первый случай. Коэффициенты при переменных непропорциональны:
,
.
Рассмотрим способы решения системы в этом случае.
,
если
.
(I)