§ 4. Степень с рациональным показателем

Пусть а – произвольное положительное число, а m и n – произвольные натуральные числа. Тогда .

Читаем: а в степени m делить на n равно корню степени n из а в степени m.  положительный дробный показатель степени.

Например:

Формула (1) не имеет места для отрицательного значения основания а.

Подобно тому, как в разделе ІІ была определена степень числа а с отрицательным показателем –n, можно определить и степень положительного числа а с отрицательным дробным показателем – .

Пусть а – произвольное положительное число, а m и n – натуральные числа. Тогда .

Читаем: а в степени минус m делить на n равно единице, деленной на а в степени m делить на n.

Например: ;

.

Читаем:  “a” в степени одна вторая;

– “a” в степени три четвёртых;

– “a” в степени минус одна третья;

– “a” в степени минус семь восьмых.

Основные свойства степени с рациональным показателем

1.Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складывают:

.

Например: ,

.

2. Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются:

.

Например: ;

.

3.Степень степени

При возведении степени в степень показатели умножают:

.

Например: .

4.Степень произведения

При возведении в степень произведения в эту степень возводят каждый множитель и полученные степени умножают:

.

Например: .

5.Степень дроби

При возведении в степень дроби в эту степень возводят отдельно числитель и знаменатель и полученные степени делят:

.

Например: .

Слова и словосочетания: сте́пень с рациона́льным показа́телем.

Упражнения

А

1. Вычислите:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11) 12)

13) 14) .

2. Докажите тождества:

1) 2)

3) .

3. Вычислите:

1)

2)

3)

4) .

4. Упростите: .

Б

1. Вычислите:

1)

2)

3) .

2. Вычислите:

1) .

3. Упростите выражение:

1) 2)

3)

4) .

4. Какое значение принимает выражение

.

Ответы: A. 1. 1) 16; 3) ; 5) ; 7) ; 9) 16; 11) 256; 3) . 3. 1) 3; 3) 0; 4. .

Б. 1. 1) ; 3) ; 2. ; 3. 1) ; 3) ; 4. .

Контрольные вопросы

1. Что такое возведение в степень с положительным дробным показателем ?

2. Что такое возведение в степень с отрицательным дробным показателем – ?

3. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

4. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?

5. Как возвести степень в степень?

6. Как возвести в степень произведение?

7. Как возвести в степень дробь?

Раздел 5.Уравнения и системы уравнений первой степени

§ 1. Равенства. Тождества. Уравнения

Равенство  это два алгебраических выражения, которые соединяются знаком равенства (=).

Равенства имеют следующие свойства:

если a = b, то b = a;

если a = b и b = с, то а = с;

если a = b, то а + с = b + а;

если a = b, то ас = bс;

если a = b и с ≠ 0, то а:с = b:с.

Равенство может быть числовым и с переменными. Числовое равенство может быть верным или неверным.

Например, 8 – 3 =20 : 4 – верное числовое равенство;

15 + 2 = 30 : 2 – неверное числовое равенство;

х + y = 7 – равенство с переменными х и y.

Переменные в этом равенстве могут принимать разные числовые значения. Если х = 4, а y = 3, то 4 + 3 = 7 – это верное равенство; если х = 10, а y = –3, то 10 + (–3) = 7 – это верное равенство; если х = 2, а y = 1, то 2 + 1 = 7 – это неверное равенство.

Областью определения равенства называется множество значений переменных, при которых левая и правая части равенства имеют смысл и обозначается D.

Пример 1. Найти область определения равенства .

Решение. Левая часть этого равенства не имеет смысла при х = 1, а правая часть имеет смысл при всех действительных значениях х. Поэтому D(х) = {x/x }.

Тождество – это равенство, которое верно при любых значениях переменных из области определения.

Примеры тождеств:

1)

2)

3) ;

4) .

Уравнение – это равенство, которое является верным числовым равенством только при определённых значениях переменных.

Примеры уравнений:

1) 2) 3)

4) 5) .

Областью определения уравнения называется множество значений переменных, при которых левая и правая части уравнения имеют смысл, и обозначается D.

Пример 1. Для уравнения область определения .

Пример 2. Для уравнения область определения .

Корень или решение уравнения – это значение переменной, при котором уравнение есть верное числовое равенство.

Решить уравнение  значит найти множество всех его корней.

Пример 1. Уравнение имеет три корня: –2, 4, 9. Множество корней этого уравнения .

Пример 2. Уравнение не имеет корней: S = Ø.

Пример 3. Уравнение имеет бесчисленное множество решений; любое неотрицательное число есть решение этого уравнения.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают.

Равносильными могут быть три, четыре или большее число уравнений.

Пример. Рассмотрим уравнения: (1)

(2)

(3)

Множество корней уравнения (1): .

Множество корней уравнения (2): .

Множество корней уравнения (3): .

Множества и совпадают, а множества и не совпадают.

Уравнения (1) и (3) – равносильные, так как множества их корней равны. Уравнения (1) и (2) – неравносильные, так как множества их корней не равны.