Контрольные вопросы

1. Какая дробь называется алгебраической?

2. Какие значения могут иметь: а) числитель дроби; б) знаменатель дроби?

3. Когда дробь равна нулю?

4. Когда дробь не имеет смысла?

5. Что значит сократить дробь?

6. Как сократить алгебраическую дробь?

7. Перечислите свойства алгебраических дробей.

8. Как умножить дробь на дробь?

9. Как разделить дробь на дробь?

Раздел 4.Корень. Степень с рациональным показателем

§ 1. Корень

Корень степени n из числа а есть число b, если .

Имеет место равенство

Арифметический корень степени n из неотрицательного числа а есть такое неотрицательное число b, что

Рассмотрим два случая:

n – четное число, n = 2k, ;

n – нечетное число, n = 2k–1, .

Положительный корень четной степени из положительного числа а ( ) есть арифметический корень степени 2k из а.

Отрицательный корень четной степени из положительного числа а ( ) есть число, противоположное арифметическому корню степени 2k из а:

Пример 1: .

Корень четной степени из отрицательного числа не существует на множестве действительных чисел.

Корень нечетной степени есть число, которое имеет знак подкоренного числа: , , .

Пример 2: а) ;

б)

Корень любой степени из числа нуль есть нуль.

Корень степени n обозначается с помощью знака корня ;

– это действие извлечения корня (здесь n –показатель корня; а – подкоренное выражение; b – корень).

Читаем: – корень квадратный из девяти равен трём;

– корень кубический из восьми равен двум;

– корень четвертой степени из восьмидесяти одного равен трём;

– корень пятой степени из тридцати двух равен двум.

Если , то при n = 2k–1,

при n = 2k,

Пример 3:а) б) ;

в) ;

г) .

Иррациональные числа

Каждое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

2,232323…=2,(23) – это чистая периодическая дробь.

Читаем: две целых, двадцать три в периоде.

1,17555…=1,17(5) – это смешанная периодическая дробь.

Читаем: одна целая, семнадцать сотых и пять в периоде.

1,23789635…– это бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа это числа, которые имеют вид бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примеры иррациональных чисел:

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначается буквой R.

R – множество действительных чисел;

– множество положительных действительных чисел;

– множество отрицательных действительных чисел.

Множество всех действительных чисел можно записать с помощью открытого числового промежутка: .

Множество .

Множество .

Множество действительных чисел, которые удовлетворяют следующим неравенствам, можно записать в виде числовых промежутков, а именно:

;

;

;

;

;

;

;

.

Свойства арифметического корня n– степени

1. Корень из произведения

Чтобы извлечь корень из произведения, необходимо извлечь корень из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

2. Корень из дроби

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, и первый результат разделить на второй.

3. Корень из степени

.

Чтобы извлечь корень из степени, необходимо разделить показатель подкоренного выражения на показатель корня, т.е. записать степень с дробным показателем.

4. Корень из корня

Чтобы извлечь корень из корня, необходимо перемножить показатели корней и извлечь корень этой степени.

5. Основное свойство арифметического корня

Арифметическое значение корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (разделить) на одинаковое число.