Разложение многочленов на множители
Разложить многочлен на множители – это значит записать его как произведение нескольких множителей.
Есть три основных способа разложения многочленов на множители.
I.Вынесение общего множителя за скобку
Пример 1:
.
Здесь m – общий множитель, который вынесли за скобку. Чтобы узнать, что написать в скобках, необходимо разделить каждый член многочлена на общий множитель и результат записать в скобках.
Пример 2:
.
Здесь общий множитель x– 1.
Пример 3:
.
Здесь общего множителя нет.
Изменим знак перед второй скобкой и в
скобке. Получим
.
Пример 4:
.
II. Группировка членов
Рассмотрим примеры.
Пример 1:Разложить
на множители многочлен
.
Члены этого многочлена не имеют общего множителя. Сгруппируем члены так, чтобы эти группы членов имели общий множитель:
Примечание.
Сгруппировать члены можно и по– другому:
.
Видно, что результаты одинаковые.
Пример 2: Разложить на множители многочлен
III.Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения
Напишем формулы сокращенного умножения справа налево. Получим формулы разложения многочленов на множители:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
, (7).
Формулу (5) читаем так: разность квадратов раскладывается на разность и сумму оснований.
Формулу (6) читаем так: сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности.
Формулу (7) читаем так: разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы.
Рассмотрим примеры:
Пример 1:
.
Пример 2:
.
Пример 3:
.
Пример 4:
.
Пример 5:
.
Пример 6:
.
Новые слова и выражения: одночле́н(– ы), многочле́н(– ы), отлича́ться (чем? от чего?), подо́бный (– ая, – ое, – ые), приводи́ть (что? к чему?), привести́ (что? к чему?), приведе́ние (чего?), припи́сывать (что? к чему?), приписа́ть (что? к чему?), опуска́ть (что?), опусти́ть (что?), заключа́ть (что?), заключи́ть (что?), изменя́ть (что?), измени́ть (что?), сократи́ть, сокраща́ть (что?), сокращё́нный (– ая, – ое, – ые), удво́ить (что?), удво́енный (– ая, – ое, – ые), утро́ить (что?), утро́енный (– ая, – ое, – ые), непо́лный (– ая, – ое, – ые), разлага́ть (что? на что?), разложи́ть (что? на что?), разложе́ние, выноси́ть (что? куда?), вы́нести (что? куда?), вынесе́ние, группирова́ть (что?), сгруппирова́ть (что? с чем?), группиро́вка.
Упражнения
А
1. Приведите подобные слагаемые:
1)
;
2)
3)
4)
5)
.
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
3. Выполните умножение:
1)
2)
3)
4)
5) |
6)
7)
8)
9)
10)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
4. Выполните деление:
1)
2)
3)
4)
|
5)
6)
7)
8)
|
;
;
;
;
;
;
;
.
5. Возведите одночлены в степень:
1)
2)
|
3)
4)
5)
|
.
6. Упростите выражение и найдите его числовое значение:
1)
при
2)
при
3)
при
4)
при
5)
,
.
7. Разделить многочлен на одночлен:
1)
/2)
3)
4)
|
5)
6)
7)
|
;
;
;
;
;
;
.
8. Разделите многочлен на многочлен:
1)
2)
3)
4)
5)
|
6)
7)
8)
9)
10)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
9. Выполните действия с помощью формул сокращенного умножения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
|
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
|
; 
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; 
;
;
;
;
;
;
;
;
.
10. Выполните действия:
1)
2)
3)
4)
|
5)
6)
7)
|
;
;
;
;
;
;
.11. Разложите на множители методом вынесения общих множителей за скобку:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
|
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
12. Решите уравнения способом разложения на множители левой части уравнения:
1)
2)
|
3)
4)
|
;
;
;
.
13. Разложите многочлены на множители способом группировки:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
|
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; 
;
;
.
14. Разложите многочлены на множители по формулам сокращенного умножения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
|
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
|
;
;
; 
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; 
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; 
;
;
;
; 
;
;
;
;
;
.
15. Разложите на множители:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
|
7)
8)
9)
10)
11)
12)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Б
1. Сложите многочлены:
1)
;
2)
.
2. Вычесть многочлены:
1)
;
2)
;
3)
.
3. Выполнить умножение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
|
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.4. Выполните деление:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
5. Разложите на множители:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
|
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
6. Найдите числовые значения выражений (сначала разложите их на множители):
1)
при
;
2)
при
.
7. Выполните деление (сначала разложите делимое и делитель на множители):
1)
2)
|
3)
4)
|
5)
6)
|
;
;
; 
;
;
.
Ответы: А.
2. 3)
;
5)
;
7)
;
9)
;
10)
.
3. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
.
4. 1)
;3)
;
5)
;
7)
.
5. 1)
;
3)
;
5)
.
6. 1) 1,5; 3)
6; 5)
.
7. 1)
;
3)
;
5)
;
7) 
.
8. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
.
9. 17)
;
19)
;
21)
;
23)
;
25)
;
27)
;
29)
;
31)
;
10. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
11. 9)
;
11)
;
13)
;
15)
.
12. 1)
;
3)
.
13. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
;
11)
;
13)
.
14. 15)
;
17)
;
25)
;
27)
;
29)
;
31)
;
33)
.
15. 7)
;
9)
;
11)
.
Б.
1. 1)
;
2)
.
2. 1)
;
3)
.
3. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
;
11)
;
13)
;
15)
;
17)
.
4. 1)
;
3)
;
5)
.
5. 1)
;
3)
;
5)
;
7)
;
9)
;
11)
;
13)
;
15)
;
17)
;
19)
;
21)
;
23)
.
6. 1) 0; 2)
.
7. 1)
;
3)
;
5)
.