Контрольные вопросы

1. Что такое элементы множества?

2. Как прочитать записи и ?

3. Как можно задать множества? Приведите примеры.

4. Какие множества мы называем числовыми множествами? Приведите примеры.

5. Что такое пустое множество? Приведите примеры пустых множеств.

6. Что означает запись ? Как прочитать эту запись? Приведите примеры подмножеств.

7. Что такое объединение и пересечение множеств? Приведите примеры.

§ 2. Рациональные числа

Все положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и число нуль образуют множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел записывают так:

Q = { }.

Таким образом, любое рациональное число можно записать в виде несократимой дроби , где m – целое, а n – натуральное число.

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Например, = ; и т.д. И наоборот, любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Пример. Показать, что числа a = 0,136136136… и b = 0,27171717… являются рациональными.

Решение: а = 0,136136136… (1)

Умножим обе части этого равенства на 1000: 1000а = 136,136136… (2)

Вычитаем (1) из (2). Получим

1000а = 136,136136…

а = 0,136136…

999а = 136;

а = .

Аналогично, b = 0,27171717… (1)

Умножим обе части этого равенства на 100: 100b = 27,171717… (2)

Вычитаем (1) из (2). Получим

100b = 27,171717…

b = 0,271717…

o

99b = 26,9;

b = .

В общем случае, сначала нужно умножить периодическую дробь на , где m – это число цифр в периоде.

Любое рациональное число можно изобразить (показать) точкой на числовой прямой (рис. 2.5).

Рисунок 2.5

Точка О  начало отсчета.

ОЕ  единичный отрезок.

Это числовая прямая.

Покажем числа 1; 3; ; –2; –3,5; –6 на числовой прямой (рис. 2.6).

Рисунок 2.6

Можно сказать, что числовая прямая – это прямая линия, все точки которой показывают числа. Каждое число называется координатой соответствующей точки. Записывают F (–6), E (–3,5), A (1), C ( ).

Противоположные числа

Рассмотрим числовую прямую (рис. 2.7):

Рисунок 2.6

Числа а и –а находятся на одинаковом расстоянии вправо и влево от точки 0. Это противоположные числа. Например, 5 и –5 – противоположные числа. Говорят: 5 противоположно –5, а –5 противоположно 5.

Модуль числа

Модуль числа а – это расстояние от начальной точки до точки, которая показывает число а на числовой прямой.

Модуль числа а записывают так: _.

Так как модуль числа – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным числом, то модуль любого числа – положительное число (или 0).

1. Модуль любого положительного числа равен этому числу:

, .

2. Модуль нуля равен нулю: .

3. Модуль любого отрицательного числа равен числу, ему противоположному:

, .

Все это можно записать так:

Например:

Свойства модуля

Для всех рациональных чисел а и b

1. _.

Модуль произведения равен произведению модулей.

2. , если b ≠ 0.

Модуль частного равен частному модулей.

3. , где n – целое четное число.

Модуль степени числа а равен степени этого числа, если n целое четное число.