Передаточная функция

Дифференциальное уравнение звена (системы) в общем виде можно представить в виде:

. (7.2)

После перевода уравнения (7.2) к переменным в отклонениях и его линеаризации, уравнение принимает вид (8.3):

+ + + … + +

+ + + … = 0, (7.3)

где обозначает, что для частной производной вычислено ее значение в точке С(х₀, у₀).

Возвращаясь к структурной схеме модели звена типа «вход – выход», изменим ее с учетом появившихся обозначений:

В теории систем автоматического управления приняты определенные формы записи дифференциальных уравнений, придающие их коэффициентам определенный физический смысл. Рассмотрим это на примере уравнения (7.3), считая его второго порядка. Осуществим следующие действия:

1) выходную переменную у оставим в левой части, а входную переменную х перенесем в правую часть уравнения:

+ + =

+ + ; (7.4)

2) разделим обе части уравнения на коэффициент перед приращением выходной величины у:

у + + =

= х + +

+ ; (7.5)

3) обозначим полученные коэффициенты перед переменными символами, отражающими их физический смысл и размерность:

. (7.6)

Для лучшего понимания рассмотрим, как были получены коэффициенты k и Т₂, их размерность и общепринятые названия:

коэффициент передачи

k = – ; (7.7)

= = [c²] (7.8)

– постоянная времени. (7.9)

Перепишем (7.6) в развернутом виде:

. (7.10)

Введем оператор дифференцирования , который действует на сигнал по правилу . Здесь важно, что запись обозначает не умножение оператора на сигнал, а действие этого оператора, то есть дифференцирование .

(7.11)

или . (7.12)

Используемые в данном уравнении коэффициенты приводят все слагаемые уравнения к одной размерности – размерности выходной переменной.

Замечание: в дальнейшем будем рассматривать дифференциальные уравнения только в отклонениях. Поэтому, для сокращения записи символ «» использовать не будем.

С учетом данного замечания перепишем уравнение (7.12):

, (7.13)

В компактной форме: Q(p)y(t) = R(p)x(t), y(t) = . (7.14)

Полученное выражение является символической записью уравнения (7.4), которой удобно пользоваться. И запись (7.14) означает не умножение, а действие сложного оператора на сигнал .

Функция обозначается и называется передаточной функцией. Она полностью описывает связи между входом и выходом объекта при нулевых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.

Преобразование Лапласа

При управлении объектами важно уметь вычислять выходной сигнал системы при известном входном. Для решения такой задачи необходимо решать ДУ. Чтоб упростить процедуру, существует специальное преобразование, которое позволяет заменить решение ДУ алгебраическими вычислениями.

Для функции вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как .

(7.15)

Функция F(s) называется изображением для функции f(t) (оригинала). Здесь s – это комплексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (7.15) сходился.

Обратное преобразование Лапласа позволяет вычислить оригинал f(t) по известному изображению F(s).

(7.16)

Где , а постоянная выбирается так, чтобы интеграл сходился.

На практике вместо интеграла чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот.

Например, изображение Лапласа для единичного ступенчатого сигнала

А изображение Лапласа для экспоненциального сигнала имеет вид:

Свойства преобразования Лапласа:

1. Выполнение принципа суперпозиции как для прямого так и для обратного преобразования Лапласа:

2. Изображение для производной функции равно:

,

где F(s) – изображение функции f(t), и f(0) – ее значение при t=0.

Поэтому при нулевых начальных условиях изображение производной равно изображению функции умноженному на s. А для построения изображения i-той производной нужно умножить изображение функции на .

Иногда используют передаточную функцию как отношение изображений по Лапласу входного и выходного сигналов звена и обозначают: .

_{Здесь важно, что переход от одного вида передаточной функции к другому осуществляется формальной заменой p на s при нулевых начальных условиях.}

При нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объекта вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала.

Пример преобразования Лапласа для вычисления выхода звена при известном входном сигнале. Пусть динамика звена описывается уравнением:

и на его вход подается единичный ступенчатый сигнал x(t)=1[t). Необходимо найти выходной сигнал.

Чтоб найти изображение выхода звена необходимо знать его передаточную функцию и изображение входного сигнала. Изображение входного сигнала находим по таблице преобразования Лапласа:

Передаточную функцию звена находим, применяя к левой и правой части уравнения преобразование Лапласа:

Теперь находим изображение выхода:

Вычисляем, используя таблицы, оригинал сигнала выхода:

.

Таким образом, можно найти сигнал выхода звена без решения дифференциального уравнения.