2. Побудова кривої Михайлова для нестійкої сар

Складемо таблицю розрахунків координат векторів М( при зростанні ω.

Таблиця 1.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
Х( )	2.6	2.58	2.53	2.45	2.34	2.2	2.02	1.81	1.57	1.30	-11
Y(	0	0.13	0.27	0.39	0.49	0.57	0.62	0.63	0.60	0.53	-22

Якщо значення частоти постійно змінювати від ω=0 до ω= , то можна одержати серію векторів М(ϳω). Вектор М(ϳω) буде змінюватися по величині і по напрямку. При цьому його кінець опише деяку криву (годограф), названу кривою Михайлова.

При зміні ω від 0 до кінець вектора М(ϳω) переміщується по кривій Михайлова . При цьому його фаза одержує збільшення, що залежить від характеру кривої. За даною таблицею побудуємо годограф:

Поведінка кривої наступна : ввійшовши в перший квадрант вона переходить в другий, потім в третій і там нескінченно віддаляється від осей координат, така поведінка характеризує нестійку САР. Оскільки за критерієм Михайлова , для стійкості системи необхідно і достатньо.

2. Побудова структурної схеми сау з введенням заданого коректуючого елементу

Для отримання стійкої системи до підсилювача і виконавчого механізму вводять видаючу коректуючу у виді від’ємного зворотнього зв’язку.

Рис.2 – Структурна схема систем автоматичного регулювання.

Складемо диференційне рівняння руху САУ з корекцією для розімкненої системи: (4)

Визначаємо загальну передаточну функцію з корекцією :

Підставляємо значення згідно варіанту :

;

Запишемо диференціальне рівняння руху з корекцією:

Підставляємо та отримаємо:

Позбавимся операційного вигляду та запишемо в диференційній формі:

2. Визначення критичного значення коефіцієнта оберненого звя’зку к5кр. З умов стійкості за Гурвіцем

Задача пошуку критерію стійкості для систем , що описуються диференціальними рівняннями будь-якого порядку, була сформульована в 1868р. Максвеллом. Ця задача була вирішена в 1873р. Раусом для рівнянь 4 і 5-го ступенів, а в 1877р.цілком (але вона була не зовсім зручною). Тому більшого поширення одержав критерій стійкості , сформульований у 1895р., Гурвіцем знайдений ним на прохання словацького професора Стодоли.

Стійкість САР з корекцією визначається за критерієм Гурвіца, для стійкості системи достатньо щоб визначник , який побудований з коефіцієнтів диференційного рівняння та його діагональні мінори були позитивні.

∆= ;

Розглянемо їх позитивність :

∆₁=а₁= , при К₅ > - = - 0,19;

∆₂=

=1.76+10.57 +9.1 +54.9

При цих значеннях позитивне:

Отже, розв’яжемо квадратичне рівняння:

Для спрощення рівняння поділимо на коефіцієнт при старшому доданку:

Знайдемо корені квадратичного рівняння :

Прирівнюємо до 0 і ділимо на 1-ий коефіцієнт. Розв’яжемо кубічне рівняння:

Знайдемо похідну цієї функції:

Корені рівняння знаходимо за методом дотичних:

1. 

2. (6)

Підставивши значення отримаємо :

3. 

Підставивши значення отримаємо:

; якщо звідси зробимо висновок :

Отже запишемо значення, при якому виконуються позитивні умови стійкості за критерієм Гурвіца:

Для того щоб побудувати криву Михайлова для скоректованої САУ приймемо, що К₅₌3К_5кр. (за умовою), звідси:

Підставивши це значення замість К₅ в вираз

,

отримаємо диференційне рівняння руху САК:

Шляхом підстановки в це рівняння = ϳω. Отримаємо спеціальну функцію Михайлова:

Розіб’ємо дане рівняння згідно загального множника ϳ:

2. Побудова кривої Михайлова для скоректованої САУ прийнявши К₅₌3К_5кр.

Складемо таблицю розрахунків координат векторів М( при зростанні ω.

Таблиця 2.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	3	10
Х( )	4.06	4	3.81	3.5	3.06	2.5	1.82	1.02	0.1	-44	369
Y(	0	0.57	1.13	1.64	2.08	2.44	2.69	2.81	2.78	-79	-3540

За даною таблицею побудуємо годограф:

Поведінка кривої наступна: увійшовши в перший квадрант вона плавно переходить в другий, потім в третій і четвертий, де нескінченно віддаляється від осей координат, така поведінка характеризує стійку САР. Оскільки за критерієм Михайлова, для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при зростанні ω годограф обходив навколо початку координат проти часової стрілки.