Метод Депри – Хори.
Введем производящую функцию с тем, чтобы отличать от (Гамильтона – Якоби) и (фон – Цейпеля). Введем нормированное время:
(14)
С учетом (14) перепишем (13):
(15)
Как следует из (15)
зависит только от новых переменных или
только от старых. При этом чтобы получить
обратную зависимость следует заменить
на
.
Имеем:
(16)
Для произвольной функции
мы имеем следующее соотношение:
(17)
Аналогичное выражение для старого и нового гамильтониана имеет вид:
(18)
Рассмотрим случай, когда
,
то есть
.
Имеем:
Это соотношение, как частный случай
метода Депри – Хори, используется в
методе фон – Цейпеля как основополагающее
из которого затем мы разложением в ряд
Тейлора, с использованием рядов по
степеням малого параметра, получили
все формулы. Но в нашем случае, поскольку
преобразования автономны, следовательно
,
то есть для
можно записать:
(19)
В нашем случае Депри положил, что
(20)
Если представить в правых частях все функции разложенными по степеням малого параметра , сгруппировать члены при равных степенях , то мы получим в общем виде следующее соотношение:
для
(21)
В свою очередь
имеет вид:
(22)
Выражение (20) – (22) являются рекуррентными формулами Депри – Хори, с помощью которых и реализуется этот метод. А именно:
(23)
Легко видеть, что выражения (23) аналогично
соответствующим выражениям в методе
фон – Цейпеля с той существенной
разницей, что и левой и в правой частях
соотношения (23) все функции и
и
зависят только от новых переменных
.
Имеем, аналогично методу фон – Цейпеля из второго уравнения (23):
(24)
находим и , а из третьего равенства соотношений (23) имеем:
(25)
находят
и
.
В этой части метод Депри – Хори никакого
упрощения не дает, а точнее, решения
уравнений (24), (25) производится абсолютно
аналогично методу фон – Цейпеля. Но как
только мы нашли
и
,
связь между старыми и новыми переменными
находят по формулам (15) и (16), которые
дают такую связь в замкнутом аналитическом
виде.
Преимущества метода Депри – Хори.
формулы связи старых и новых переменных не требуют обращений формул (15) и (16).
формулы преобразования пригодны для любых функций, зависящих от
.формулы метода задаются рекуррентно, что легко реализовать на ЭВМ.