4. Метод усреднения систем с двумя видами переменных и одним периодом

Пусть нам задана система следующего вида

(12)

Где все переменные и функции могут быть многомерными векторами, но только y – периодическая переменная с периодом .

В нашем случае (трехмерные вектора)

(13)

Отметим, что для у нас первое уравнение даст нулевой член, так как sin(0)=0, а второе даст непериодическую часть, то есть

(14)

Усредним систему (14)

(15)

Проинтегрируем систему (15)

(16)

Полученное решение подставим в (14) имеем

Проинтегрируем полученную систему

(17)

Это приближение в небесной механике получило название полуторного (1,5) приближения. Взять второе (2,5) приближение с выражениями и , как это следует из выражения (17) не представляется возможным вследствие его чудовищной громоздкости.

Проанализируем полученное полуторное приближение. Уже оно дает весь спектр наблюдаемых движение небесных тел.

В самом деле:

1. на момент характеризуют начало движения и получили название «начальных условий».

2. - выражение характеризует прямолинейное движение. Отметим, что второе приближение уже даст , третье и т.д. В небесной механике все эти члены получили название вековых членов.

3. Остальные, являются чисто периодическими членами вида:

,

Где А – амплитуда, - частота, а - есть период этого члена, - фаза

Периодические члены в свою очередь в небесной механике космической геодезии делятся в зависимости от величины знаменателя стоящего под амплитудой

1. если , то такие члены получили название короткопериодические,

2. если и , то такие члены называют долгопериодическими,

3. и, наконец, если и и , то эти члены получили название резонансных.

Отметим, что вышепоименованные члены входят не только в знаменатель амплитуды, но они непосредственно определяют и частоту, а следовательно, и период членов, то есть

или , а или

Пример: Задана система

при

1. Усредняем ее (решение ~ )

интегрируя, имеем:

2. Подставляем полученные значения в исходную систему.

3. Интегрируя, имеем:

Подставляя везде начальные условия , имеем:

Пример: Задана система

при

1. Усредняем ее (решение ~ )

интегрируя, имеем:

2. Подставляем полученные значения в исходную систему.

3. Интегрируя, имеем:

Подставляя везде начальные условия , имеем:

Вопрос 3 Метод Гамильтона – Якоби.

Основным препятствием в решении канонических уравнений является проблема отыскания производящей функции

Мы положим, что , но с другой стороны , поэтому полная производная по будет иметь вид:

(15)

( от не зависит, так как является производящей функцией).

Но на основании уравнения Якоби

тогда имеем:

(16)

Но , подставляя в (16)

(17)

Но , и в соответствии с (17) получим:

Откуда

или заменяя в ,имеем уравнение Гамильтона – Якоби:

(18)

Теорема Гамильтона – Якоби. Если заданную систему канонических уравнений имеющих вид:

(19)

преобразуют к новым переменным и ( в частном случае это могут быть и постоянные и ), то необходимо, чтобы новые и старые переменные удовлетворяли форме Пфаффа для производящей функции , то есть:

(20)

(в нашем случае ), а сама производящая функция должна удовлетворять уравнению Гамильтона – Якоби:

(21)

тогда новый гамильтониан будет иметь вид:

(22)