Вопрос 2

Метод усреднения (осреднения)

1. Предварительные сведения

В небесной механике и космической геодезии возмущенное движение ИСЗ описывается или тремя уравнениями второго порядка

(1)

или шестью уравнениями первого порядка

(2)

где

Заметим, что и в том и в другом случае помимо времени мы имеем шесть переменных: для первого уравнения , для второго уравнения , нахождение которых в зависимости от времени составляет результат решения приведенных систем. И здесь следует отметить такую особенность, которая характерна, как для системы (1) так и для системы (2). В самом деле, в первом случае координаты являются быстроменяющимися переменными, так как радиус – вектор (точнее его проекция на оси) в течение полного оборота спутника меняет свое положение на 360°, при этом абсолютная величина лежим в пределах

(3)

Заметим, что если орбита вытянута и , то будет меняться ~ от 0 до , при этом меняя свое направление от 0 до 360°.

Что касается вектора скорости , то хотя зависимость модуля скорости

(4)

практически такая же, то есть:

(5)

И все же для слабовытянутых орбит мы имеем следующую особенность: радиус – вектор имеет абсолютную величину в несколько тысяч километров и может меняться от 6370 км и до , а скорость для ИСЗ имеет узкий диапазон (от ~ 8 км/сек до ~ 11 км/сек). То есть в зависимости от начальных условий радиус – вектор (определяющий переменные ) и вектор скорости (определяющий переменные ) меняется разным образом: радиус – вектор быстро, вектор скорости – медленно. Еще в большей степени это касается абсолютных значений величин возмущений радиуса – вектора и вектора скорости.

Если мы вместо координат и скоростей возьмем параметрическую систему координат в виде элементов орбиты, то довольно сглаженная разница в зависимости от времени координат и проекций скоростей здесь проявится в явном виде. А именно, если брать гравитационные возмущения произвольной природы и величины, то всегда будут просматриваться два вида элементов орбиты:

1. с вековой и периодической зависимостью от времени

2. с чисто периодической зависимостью от времени

(6)

К первой группе (медленных) переменных относят

и к (быстрым) второй группе (7)

С учетом этой особенности и уравнения движения для элементов орбиты (т.е. шесть уравнений первого порядка) можно представить виде:

(8)

Отметим, что в невозмущенном движении вектор медленных переменных вырождается в вектор констант, и он становится пятимерным, а вектор быстрых переменных вырождается в одномерный, то есть

(9)

2. Понятие об усреднении.

Пусть мы имеем периодическую функцию , где - одномерная периодическая переменная с периодом Т.

Определение Средним значением функции назовем функцию

определяемую выражением

(10)

В общем случае, если мы имеем многомерные периодические переменные с периодами , то в этом случае средним значением от функции будем называть такую, которая определяется выражением

(11)

3. Геометрическая интерпретация метода усреднения.

Рассмотрим интерпретацию метода на конкретных примерах

Пример 1

Вывод: В этом случае уравнение представляет собой уравнение прямой

OY на графике, дающей нулевую площадь по отношению к оси OY.

Пример 2

Вывод: Уравнение усредненной функции есть прямая параллельная оси OY и она ограничена (???).

Пример 3