39.Графические методы синтеза сопряженных профилей

Основной задачей синтеза зацеплений является нахождение сопряженных поверхностей по заданному закону изменения передаточного отношения. Эта задача может решаться как графическими, так и аналитическими методами. Графический метод синтеза сопряженных профилей, предложенный немецким ученым Францем Рело, лежит в основе аналитических методов, известных под названием методов профильных нормалей. Ознакомимся с этими методами.

Графический метод синтеза сопряженных профилей. Пусть для внешнего зацепления дано постоянное передаточное отношение i₁₂, межосевое расстояние а_w и профиль S₁ на звене 1 (рис. 3.37). Надо найти сопряженный профиль S₂ на звене 2.

По методу Рело искомый профиль находится по точкам путем последовательного выполнения трех этапов.

Первый этап. Откладываем в некотором масштабе межосевое расстояние а_w и строим заданный профиль S₁. Определяем по формулам (3.46) положение полюса зацепления Р и строим подвижные центроиды Ц₁ и Ц₂. На профиле S₁ отмечаем несколько точек и выбираем первую из них К⁽¹⁾. Находим угол q, на который надо повернуть звено 1 для того, чтобы точка К⁽¹⁾ вошла в контакт с сопряженным профилем. Этот угол равен углу АО₁Р, где точка А – точка пересечения нормали nn с центроидой Ц₁, т.к. в соответствии с основной теоремой зацепления нормаль nn к профилю S₁ в момент контакта проходит через полюс зацепления Р.

Второй этап. Находим точку К⁽⁰⁾ в неподвижной системе координат, в которой точка К⁽¹⁾ будет иметь контакт с сопряженным профилем. Для этого повернем звено 1 на найденный угол q.

Третий этап. Находим точку К⁽²⁾ искомого профиля S₂ на звене 2, которая придет в контакт с точкой К⁽¹⁾ профиля S₁ в точке К⁽⁰⁾. Для этого соединим точку К⁽⁰⁾ с осью О₂ и повернем отрезок К⁽⁰⁾О₂ на угол .

Таким образом, мы получили точку К⁽²⁾, которая при повороте звена 2 на угол  придет в точку К⁽⁰⁾. В точке К⁽⁰⁾ произойдет контакт звена 2 со звеном 1, и нормаль к профилям S₁ и S₂ будет проходить через полюс зацепления Р, т.е. будет выполняться основная теорема зацепления.

Далее выбирается следующая точка на профиле S₁ и проводятся аналогичные построения и находятся остальные точки искомого профиля S₂. Одновременно получается геометрическое место точек К⁽⁰⁾ контакта сопряженных профилей в неподвижной системе координат, которое называется линией зацепления. Если линия зацепления задана, то для нахождения сопряженных профилей, кроме передаточного отношения, должен быть также задан закон движения точки контакта по линии зацепления.

Аналитический метод синтеза сопряженных профилей. Заданы: межосевое расстояние а_w, передаточное отношение i₁₂, профильS₁ на звене 1 в декартовой системе координат, связанной с 1-м звеном:

(3.70)

Требуется найти профиль S₂ в системе координат, связанной со звеном 2:

(3.71)

Первый этап – определение угла q, при повороте на который точка К⁽¹⁾ на звене 1 станет точкой контакта. В общем виде решение данной задачи оказывается достаточно громоздким и здесь приводится не будет. Однако иногда оказывается, что при задании конкретного профиля S₁ угол q, как будет показано далее, находится из простых геометрических соотношений.

Второй этап – определение координат точек контакта в неподвижной системе координат. Для этого воспользуемся формулой преобразования координат:

, (3.72)

где H₀₁(q) – матрица перехода в кинематической паре, связывающей звено 1 со стойкой. Для случая вращательной кинематической пары (рис. 3. 38) матрица имеет вид:

(3.73)

Подставляя (3.70) и (3.73) в (3.72), получаем:

(3.74)

Выражение (3.74) представляет собой уравнение линии зацепления в неподвижной системе координат.

Третий этап – определение искомых координат точек К⁽²⁾ на профиле S₂ звена 2 по формуле преобразования координат:

,