38. Основная теорема плоского зацепления

Свойства зубчатого механизма во многом определяются выбором типа кривых, по которым очерчиваются боковые поверхности зубьев и которые определяют профиль зубьев зубчатых колёс. Выбор же кривых для любых зубчатых колёс должен, прежде всего, удовлетворять основной теореме зацепления и её следствиям.

Основная теорема зацепления:

общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент зацепления делит линию центров колёс на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Для доказательства основной теоремы рассмотрим зацепление двух зубьев в некоторый момент времени (рис. 70) в точке М (М1 и М2) со скоростями этих точек VM1 = R1ω1 и VM2 = – R2ω2.

Пусть NN – общая нормаль в данный момент в точке М. Очевидно, что условием непрерывности зацепления при вращении колёс будет равенство проекций скоростей VM1 и VM2 на общую нормаль, т. е. V nM1 = V nM2.

В противном случае (при V nM1 ≠ V nM2) получим либо отставание одного зуба от другого (V nM1 < V nM2), либо "внедрение" (V nM1 > V nM2), что невозможно.

Обозначая углы векторов с нормалью через β1 и β2, имеем:

Из подобия ΔO2Pb0 и ΔO1Pa0: что и требовалось доказать.

Следствие 1

Проекции скоростей на общую касательную τ - τ не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от скорости скольжения Vск= V τM1 < V τM2.

Скольжения не будет только тогда, когда β1 = β2, т. е. в момент зацепления зубьев на линии центров.

Следствие 2

Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р.

Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными (rω1 и rω2).

Они являются центроидами относительного движения колёс.

Расстояние по дуге начальной окружности между двумя соседними зубьями называется шагом по начальной окружности (Pω1 и Pω2).

Так как начальные окружности – центроиды, то Pω1 = Pω2 = Pω.

Числа зубьев колёс обычно обозначаются через z (z1 и z2). Тогда следующие равенства очевидны: Из основной теоремы зацепления для круглых колёс:

т. е. передаточное отношение пары зубчатых колёс с неподвижными осями обратно пропорционально числу зубьев, взятому с соответствующим знаком. Для внешнего зацепления – знак "минус", для внутреннего – "плюс".

Из (7.1) следует: Основной теореме зацепления и её следствиям удовлетворяет большое число кривых. Можно вообще задаться произвольным профилем одного зуба и получить, пользуясь основной теоремой, профиль зуба сопряжённого с ним колеса. Однако такой профиль не будет удовлетворять всем требованиям, предъявляемым к зубчатым колёсам, а именно:

- профили должны быть взаимно просты и технологичны в производстве;

- зубчатые колёса должны быть взаимозаменяемы;

- профили зубьев должны иметь минимальный износ поверхностей и достаточную прочность и долговечность;

- профили должны давать постоянное давление на опоры для обеспечения долговечности подшипников.

В настоящее время в машиностроении и в приборостроении основной кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная Л.Эйлером в 1754 г. Более чем двухсотлетнее применение эвольвентных зубчатых колёс говорит об удачном выборе кривой, особенно в связи с изобретением прогрессивного метода обработки (метода обкатки).