21. Кинематический анализ зубчатых механизмов.
Для того, чтобы исключить проскальзывание и увеличить передаваемую мощность, используют зубчатые передачи. Они очень широко применяются в технике; их изучает наука, называемая теорией зубчатых зацеплений.
Для того, чтобы передаточное отношение было постоянным, необходимо, чтобы профили зубьев удовлетворяли некоторым условиям.
Пусть два звена, вращающихся вокруг осей О1 и О2, образуют в точке К высшую кинематическую пару (рис. 5.3). Очевидно, что относительная скорость должна лежать на касательной - к сопряженным профилям, т.к. в противном случае нормальная составляющая относительной скорости привела бы либо к отрыву звеньев друг от друга, либо к внедрению одного звена в другое. Из этого следует, что мгновенный центр скоростей в относительном движении лежит на нормали n-n, проведенной в точке контакта к сопряженным профилям. В то же время мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой О1О2, соединяющей оси вращения звеньев 1 и 2. Следовательно, мгновенным центром скоростей в относительном движении является точка Р, лежащая на пересечении нормали n-n и линии О1О2. В теории зубчатых зацеплений эту точку называют полюсом зацепления.
Из определения мгновенного центра скоростей следует, что относительная скорость в точке Р равна нулю, т.е. VP1 = VP2. Следовательно:
(5.5)
Отсюда передаточное отношение i12:
(5.6)
Иными словами, нормаль, проведенная в точке контакта к сопряженным профилям, делит межосевое расстояние в отношении, обратно пропорциональном отношению угловых скоростей. Это – основная теорема зацепления. Для того, чтобы передаточное отношение i12 было постоянным, необходимо, чтобы полюс зацепления занимал постоянное положение. В этом случае центроидами в относительном движении будут являться окружности, которые в теории зубчатых зацеплений называются начальными окружностями. Все размеры, относящиеся к начальным окружностям, помечают индексом w, например: rw1,rw2 – радиусы начальных окружностей (рис. 5.4, а). Радиусу начальной окружности rw пропорциональна длина начальной окружности и, следовательно, число зубьев z, которое может на ней разместиться. Поэтому для передаточного отношения справедливо выражение:
(5.7)
Знак «минус», стоящий перед отношением чисел зубьев ведомого и ведущего колеса, показывает, что в передаче внешнего зацепления ведущее и ведомое колеса вращаются в противоположные стороны, а передаточное отношение – отрицательное.
Расстояние между осями вращения зубчатых колес называют межосевым расстоянием и обозначают аw. В случае внешнего зацепления
аw = rw1 + rw2. (5.8)
Учитывая, что rw1 = O1P, rw2 = O2P, из (5.6) и (5.8) получим:
(5.9)
Для того, чтобы уменьшить габариты передачи, используют колеса внутреннего зацепления: одно колесо вставляется внутрь другого (рис. 5.4, б). В этом случае направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому передаточное отношение – положительное:
.
(5.10)
Межосевое расстояние равно разности радиусов начальных окружностей:
аw = rw2 - rw1. (5.11)
Тогда радиусы начальных окружностей равны:
(5.12)
Если rw2 , то начальная окружность превращается в начальную прямую, а зубчатое колесо – в зубчатую рейку. В этом случае получают зубчато-реечную передачу (рис. 5.4, в). Поскольку в полюсе зацепления относительная скорость равна 0, то VP1 = VP2, и
