6. Операции над событиями. Алгебра событий.

Алгебра событий – это множество S=2^n элементов, в которых содержатся операции умножения и сложения. А) Объединяя благоприятствующие события А и В исходы, мы получаем подмножества во множестве W, то есть событие которое называется суммой событий А и В , и обозначается: А В.

Б) Выбирая благоприятствующие исходы, одновременно принадлежащие и событию А, и событию В, мы получаем некоторое подмножество пустое (в случае если А и В несовместна) или непустое (А и В совместны), которое называется произведением А и В, и обозначается А В.

7. Аксиоматическое определение вероятности.

Дадим аксиоматическое определение вероятности любого события, входящего в алгебру S (для случая конечного n-исходов опыта). Определяем через постулаты: 1) Каждому элементарному исходу wi (i ) поставим в соответствие некоторым разумным способом положительное число Р(wi).

2. Сумма всех положительных чисел Р(wi) , где i , равна 1. Каждое из этих чисел называется вероятностью соответствующего исхода.

3. Вероятность любого события, связанного с данным опытом, а значит включенного в алгебру S, равна сумме вероятностей исходов, приводящих к этому событию, то есть благоприятствующих исходов.

8. Важнейшие свойства вероятностей.

1) вероятность достоверного события W равна 1. 2) вероятность невозможного события равна 0.

3) Вероятность любого случайного события есть число, заключенное между 0 и 1.

4)Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (так как события А и В несовместимы, то общих исходов у них нет, а значит исходы события А+В разбиты на 2 непересекающихся группы).

5) Вероятность суммы совместимых 2 событий равна суме вероятностей этих 2 событий без вероятности их произведения (так как события совместимы, то у них есть общие исходы которые нельзя считать дважды).

6) Противоположным событием А называется событие не-А (с чертой), которое включает в себя все исходы из W, не включенные в А (Р(А)+Р(не-А)=1).

7)Вероятность события Р(А) = (1 – Р(не-А)), и наоборот.

9.Классическое определение вероятности.

Рассмотрим способ нахождения вероятностей случайных событий, известный под названием классическое определение вероятности. Специфика его в том, что он применим в опытах с сильно ограниченными условиями: 1) число исходов опыта конечно;2) все исходы опыта равновозможны.

Определение: элементарные исходы называются равновозможными, если они имеют одинаковые шансы на появление, то есть ни один из возможных исходов не имеет преимуществ по сравнению с другими возможными исходами на реализацию при однократном проведении опыта. В таком случае имеем n исходов wi, причем каждому поставлено в соответствие одно и то же число Р. Тогда имеем: Р(А)= m/n. Итак, в классическом случае вероятность случайного события А равна отношению числа m исходов, благоприятствующих ему, к общему числу n возможных исходов.

10. Геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай, когда пространство элементарных исходов W- множество мощности континуума.

Иначе говоря, способ нахождения вероятностей случайных событий, известный под названием геометрической вероятности, применим при следующих условиях: 1) число исходов опыта несчетно; 2) все исходы опыта равновозможны. При этом пространство элементарных исходов W может представлять собой: подмножество прямой R, подмножество плоскости R², подмножество трёхмерного пространства R³.

В качестве подмножеств W (т.е. случайных событий) будем рассматривать лишь промежутки имеющие: длину, еслиW подмножество R; площадь, если W подмножество R²; объем, если W подмножество R³ .

Будем считать, что пространство элементарных исходов имеет конечную меру, а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество из W пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.

Вероятность события А называется число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества W: Р(А)= (mes A)/ (mes W).