1. Комбинаторика: основные принципы, понятия и формулы.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданных множеств и формирования из них групп, по заданным правилам.

В основе комбинаторики лежат 2 принципа выбора элементов: принцип произведения, изложенный в правиле произведения, и принцип сложения, изложенный в правиле сложения.

А) правило произведения: пусть объект А1 может быть выбран из некоторой совокупности объектов к1- способом, после каждого такого выбора объект А2 может быть выбран к2-способом и так далее. Наконец после каждого выбора А1, А2,…Ао. Объект Ао может быть выбран «ко» способами. Так, выбор всех объектов в указанном порядке может быть осуществлен: к1*к2*…*ко способами.

Правило сложения: Пусть объект А1 может быть выбран из некоторой совокупности к1 способом, объект А2 может быть выбран другим к2 способами и тд… Наконец, объект Ао может быть выбран отличным от предыдущих «ко»- способами. Тогда выбор 1 какого-нибудь объекта или А1, или А2… или Ао, может быть осуществлен: к1+к2+…+ко способами.

В) Перестановкой (без повторений ) из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Перестановка (с повторением). Размещение с повторениями (упорядоченный выбор с возвращением): любая упорядоченная строка, длинной М, составленная из элементов одного и того же к-элементного множества, называется размещением с повторениями элементов к-элементного множества по М местах. Число всех таких строк называется числом размещений с повторениями из к по М, и обозначается (А с чертой из к по М). В случае размещения с повторениями число мест М может быть меньше, равно либо больше числа размещаемых элементов. Так (А с чертой из к по М) = к^М.

Размещение без повторений (упорядоченный выбор без возвращений): упорядоченная строка, длинной М, составленная из элементов одного и того же н-элементного множества, удовлетворяющая условию: все элементы различны, - называется размещением без повторений элементов н-элементного множества на М-местах. Вычисляется по формуле:   Сочетание без повторений. Когда же нам предстоит выбрать некоторое количество м-элементов по Н множеству без необходимости их упорядочивать, то следует формировать м-элементное подмножество из Н-элементного множества. Пусть имеется множество, состоящее из Н-элементов, всякое его м-элементное подмножество называется сочетанием из Н по М.

Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.Вычисляется по формуле:

 

Сочетание с повторением.

2. Предмет теории вероятностей

Задача любой науки состоит в выявлении и изучении закономерностей присущих данной области знания. Эти закономерности могут иметь детерминированный и вероятностный (стохастический) характер. Детерминированные закономерности предполагают жесткие функциональные связи между причиной и следствием и не содержит случайных величин.

На самом деле, точных детерминированных количественных законов в природе и в обществе почти не существует, при осуществлении любых явлений на ряду с контролируемыми параметрами присутствуют случайные неконтролируемые факторы. Влияние этих факторов приводит к невозможности однозначно прогнозировать исходы явлений. Явления с неопределенными исходами будем называть случайными. Также будем называть массовыми явления, которые можно многократно повторять теоретически неограниченное число раз. Теория вероятности изучает количественные закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Эти закономерности изучаются на основе абстрактного описания действительности, то есть исследователь имеет дело не с самими явлениями окружающей среды, а с их моделями, в которых должны быть правильно переданы существенные стороны, изучаемого явления.