Лекция 15

Интересным примером потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Эрланга. Они образуются «просеиванием» простейшего потока.

Рассмотрим простейший поток и выбросим из него каждую вторую точку. Оставшиеся точки образуют поток Эрланга первого порядка (Э₁).

Поток Эрланга второго порядка (Э₂) получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку. Потоком Эрланга k-го порядка (Э_k) называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую k + 1 точку, а остальные отбросить.

Закон распределения с функцией плотности распределения

называется законом Эрланга k-го порядка.

Пронумеруем величину z таким образом, чтобы плотность потока не зависела от порядка k. Доказано, что при неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному (детерминированному) потоку с постоянными интервалами, равными .

Это свойство даёт возможность, задаваясь различными k, получить любую степень последействия: от полного отсутствия ( k = 0, простейший поток) до жесткой функциональной связи между моментами появления событий (k = ∞, детерминированный поток). Таким образом, порядок потока Эрланга может служить мерой последействия, имеющегося в нем.

В практике моделирования бывает удобным заменить реальный поток заявок, имеющий последействие, нормированным потоком Эрланга с примерно такими же характеристиками промежутка времени между заявками: математическим ожиданием и дисперсией.

В связи с важностью простейшего потока и потоков Эрланга в практике моделирования, внимание обращается в первую очередь на изучение принципов имитации на ЭВМ именно этих потоков.

Лекция 16

Процесс обслуживания заявок. В общем случае СМО могут состоять из n линий (каналов), способных одновременных и независимо друг от друга обслуживать заявки. В любой момент времени канал находится в одном из двух состояний – свободен или занят.

Предположим, что в некоторый момент времени в обслуживающую систему поступает заявка. Если в этот момент времени имеются свободные каналы, то заявка принимается к обслуживанию. В противном случае, т.е. когда все каналы заняты, заявка остаётся в системе в течение некоторого времени τ_s (время пребывания заявки в системе) как претендент на обслуживание. За интервал τ_s заявка должна быть принята к обслуживанию, в противном случае она считается потерянной (получает отказ). В зависимости от величины τ_s СМО делятся на классы:

• τ_s = 0 – система с отказами;

• τ_s = ∞ – система с ожиданием;

• 0 < τ_s < ∞ – смешанная система.

Помимо параметра τ_s, обслуживающая система характеризуется τ_p – временем обслуживания заявки (временем занятости канала).

Обычно величины τ_p и τ_s являются случайными величинами с заданными законами распределения.

Дисциплиной обслуживания называется правило, по которому выбираются на обслуживание заявки из очереди. Различают следующие дисциплины обслуживания:

• обслуживание в порядке поступления или дисциплина FIFO (First Input, First Output – первым пришел, первым ушел);

• обслуживание в обратном порядке или дисциплина LIFO (Last Input, First Output – последним пришел, первым ушел);

• обслуживание в случайном порядке, когда заявка выбирается случайно из ожидающих обслуживания заявок.

Рассмотрим распространённые варианты порядка занятия каналов заявками, поступающими на обслуживание. Если в СМО имеется очередь заявок, то каналы занимаются немедленно в порядке их освобождения.

При отсутствии очереди заявок и наличии свободных каналов появившаяся заявка может занимать один из свободных каналов в соответствии со следующими правилами:

• в порядке номеров каналов;

• в случайном порядке, в соответствии с заданными вероятностями.

При наличии очереди заявок и наличии свободных каналов заявка из очереди может занимать один из свободных каналов в соответствии со следующими правилами:

• в порядке очереди;

• по минимальному времени покидания системы;

• в случайном порядке с заданными вероятностями.

Для формализации СМО с неоднородными потоками заявок (с заявками разных типов) необходимо описать:

• процесс поступления в систему заявок каждого типа, т.е. функции распределения для интервалов поступления в систему заявок каждого типа;

• процесс обслуживания заявок каждого типа, т.е. функции распределения для длительностей обслуживания заявок каждого типа;

• дисциплину обслуживания заявок: без приоритетов, когда между заявками разных типов нет приоритетов; с относительными приоритетами, когда приоритеты заявок учитываются только в моменты выбора их из очереди на обслуживание; с абсолютными приоритетами, когда приоритеты учитываются также и во время обслуживания (высокоприоритетные заявки прерывают обслуживание низкоприоритетных заявок); со смешанными приоритетами, когда заявки данного типа имеют к заявкам одних типов относительный приоритет, к заявкам других – абсолютный, а к заявкам третьих – не имеют приоритета.