1. Кінематика матеріальної точки. Радіус-вектор, вектори переміщення швидкості і прискорення.

Кінематика точки - розділ кінематики, що вивчає математичний опис руху матеріальних точок. Основним завданням кінематики є опис руху за допомогою математичного апарату без з'ясування причин, що викликають цей рух. Положення точки визначається набором узагальнених координат - впорядкованим набором числових величин, повністю описують положення тіла. У самому простому випадку це координати точки (радіус-вектора) у вибраній системі координат. Матеріальна точка - тіло, розмірами якого в порівнянні з характерними відстанями даної задачі можна знехтувати. Так Землю можна вважати Матеріальною Точкою (М.Т.) при вивченні її руху навколо Сонця, кулю можна вважати М. Т. при її русі в полі тяжіння Землі, але не можна вважати такою при обліку її обертового руху в стовбурі гвинтівки. Радіус-вектор - вектор, який визначає положення М.Т. в просторі: ={ ₁, ₂, ₃….. _n}. Тут ₁, ₂, ₃….. _n - координати радіус-вектора. Геометрично зображається вектором, проведеним з початку координат до матеріальної точці. Залежність радіус-вектора (або його координат _i= _i(t).) від часу = (t) називається законом руху. Положення матеріальної точки можна задати за допомогою 3-х декартових координат або за допомогою радіуса-вектора , що проводиться з початку координат у ту точку простору, у якій знаходиться матеріальна точка,причому = x + y +z , де i j k - одиничні вектори у напрямку відповідних осей x, y, z. Траєкторією називають уявну лінію, що описує в просторі матеріальна точка при її русі. Відстань між точками відлічувана уздовж траєкторії, називається пройденим шляхом. Пройдений шлях - величина скалярна. Вектор, поведений з початкової точки траєкторії в кінцеву, називається переміщенням ∆ ₁₂= ₂- _1. З визначення вектора переміщення маємо, що: ₂=∆ ₁₂+ _1., тобто положення матеріальної точки в даній системі відліку визначено, якщо відомі її початкове положення – вектор ₁, і переміщення ∆ ₁₂. Швидкість, як векторна величина здебільшого позначається літерою v. У системі СІ швидкість (точніше її абсолютна величина) вимірюється в метрах за секунду — м/с. В системі СГС одиницею вимірювання швидкості є сантиметр за секунду — см/с. Приско́рення — векторна фізична величина, похідна швидкості по часу та за величиною дорівнює зміні швидкості тіла за одиницю часу = . Оскільки швидкість — похідна по часу від радіус-вектра r рухомої матеріальної точки, то прискорення можна записати, як другу похідну по часу від радіус-вектора: = .

2. Обертальний рух матеріальної точки. Кутова швидкість та прискорення. Рух точки по колу. Лінійні й кутові величини, їх зв'язок. Рівняння рівномірного і нерівномірного рухів точки по колу.

Механічний рух умовно ділять на два найпростіші види: поступальний рух і обертальний рух. Поступальний рух — це такий рух тіла, у ході якого всі точки тіла рухаються однаково. Поступально рухаються сходи ескалатора метро, курсор на моніторі комп'ютера, потяг на прямолінійній ділянці шляху тощо. Під час поступального руху будь-яка пряма лінія, уявно проведена в тілі, залишається паралельною сама собі. Обертальний рух, або обертання — це такий рух тіла, коли всі точки тіла рухаються по колах, центри яких розташовані на одній прямій лінії — на осі обертання. Добове обертання Землі, обертання дзиґи, обертання Землі навколо Сонця — усе це приклади обертального руху. Слід зазначити, що, як правило, рух будь-якого тіла — це сума поступального та обертального рухів. Кутова́ шви́дкість — відношення зміни кута при обертанні до відрізку часу, за який ця зміна відбулася. = . Вимірюється в рад/сек. Оскільки зростання кута відраховується проти годинникової стрілки, то кутова швидкість додатня при обертанні проти годинникової стрілки і від'ємна при обертанні за годинниковою стрілкою. Кутове прискорення - похідна від кутової швидкості по часу. У загальному випадку обертового руху використовується поняття кутове прискорення, яке характеризує зміну кутової швидкості у часі і за аналогією до лінійного прискорення обчислюється за формулою: ε= . Матеріальна точка із масою m здійснює обертання навколо центру, рухаючись по коловій траєкторії з радіусом R під дією сталої за абсолютною величиною сили, яка завжди направлена від точки до центру обертання. Приклад такого руху - обертання тягарця на мотузці. Траєкторія точки лежить в площині, яку називають площиною обертання. Якщо v - швидкість матеріальної точки, то вона рухається з прискоренням: a = - R. Звідси можна знайти зв'язок між швидкістю й прикладеною силою: F= -m R. При такому обертанні миттєва швидкість матеріальної точки завжди направлена вздовж дотичної до траєкторії. Якщо розглядати матеріальну точку і в'язь, яка сполучає її з центром обертання, як єдину механічну систему, то можна ввести кутову швидкість обертання. Кутова швидкість загалом є вектором, направленим вздовж перпендикуляра до площини обертання. Цей напрям задає вісь обертання. Рівняння руху записується через кутову швидкість у вигляді F= - m R. Енергія матеріальної точки, що рухається по колу: E=K= . Рух рівномірний тоді, коли швидкість стала. Отже, швидкість такого руху не змінюється з часом. Рух, швидкість якого з часом не змінюється, називають рівномірним. Під час рівномірного руху тіло за будь-які однакові інтервали часу проходить однакові відрізки шляху. Розрахунки для нерівномірного руху виконують так само, як і для рівномірного руху. Середня швидкість показує, з якою швидкістю має рухатися тіло рівномірно, щоб дану відстань подолати за такий самий час, як і під час нерівномірного руху.

3. Динаміка матеріальної точки. Завдання динаміки, закони Ньютона. Інерціальна система відліку. Сила та маса. Імпульс. Закон збереження імпульсу.

Основне рівняння динаміки точки надає можливість досліджувати рух точки в нерухомій або інерціальній системі координат. Ньютонові закони руху— це фундаментальні закони класичної механіки. Перший закон Ньютона (закон інерції). Цей закон також має назву закону інерції або принципу Галілеяю. Формулювання: Існують такі системи відліку, в яких центр мас будь-якого тіла, на яке не діють ніякі сили або рівнодійна діючих на нього сил дорівнює нулю, зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, допоки цей стан не змінять сили, застосовані до нього. Цей закон є спеціальним випадком другого закону Ньютона (дивись нижче), але його значення полягає в тому, що він визначає системи відліку, в яких справедливі наступні два закони. Другий закон Ньютона: базовий закон динаміки Формулювання: Прискорення матеріальної точки прямо пропорційне силі, що на неї діє, та направлене в сторону дії цієї сили. Математично це формулювання може бути записано так:F= (mv) або F=m =ma при m=const. Це рівняння фактично означає, що чим більша за абсолютним значенням сила буде прикладена до тіла, тим більшим буде його прискорення. Параметр m або маса в цьому рівнянні — це насправді коефіцієнт пропорційності, який характеризує інерційні властивості об'єкта. У рівнянні F=ma прискорення може бути безпосередньо виміряне, на відміну від сили. Тому цей закон має сенс, якщо ми можемо визначити силу F безпосередньо. Одним з таких законів, який визначає правило обчислення гравітаційної сили, є закон всесвітнього тяжіння. У загальному випадку, коли маса та швидкість об'єкта змінюються з часом, отримаємо: F= (mv)= m =ma+ Рівняння із змінною масою описує реактивний рух. Важливе фізичне значення цього закону полягає в тому, що тіла взаємодіють, обмінюючись імпульсами й роблять це за допомогою сил. Третій закон Ньютона: закон дії та протидії. Формулювання: Сили, що виникають при взаємодії двох тіл, є рівними за модулем і протилежними за напрямом. Математично це записується так:F_1,2=-F_2,1,де F_1,2- сила, що діє на перше тіло з боку другого тіла. F_2,1- навпаки, сила, що діє з боку першого тіла на друге тіло. Суперечливого формулювання «на всяку дію є рівна протидія» слід уникати. Інерці́йна систе́ма ві́дліку — система відліку, в якій тіло, на яке не діють жодні сили (або сили, що діють на нього компенсують одна одну, тобто рівнодійна дорівнює нулю), рухається рівномірно й прямолінійно. Система відліку, яка рухається із сталою швидкістю відносно інерційної системи, також є інерційною. Си́ла — фізична величина, що характеризує ступінь взаємодії тіл. Якщо на дане тіло діють інші тіла, то ця дія (взаємодія) проявляється у зміні форми і розмірів тіла (тіло деформується), або/та у зміні швидкості тіла (тіло рухається з прискоренням). Сила є векторною величиною — крім числа, що позначає більшу чи меншу дію, вона характеризується ще й точкою прикладання та напрямком дії. Ма́са — фізична величина, яка є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні, енергетичні та гравітаційні властивості. Маса зазвичай позначається латинською літерою m. Імпульсом або вектором кількості руху в класичній механіці називається міра механічного руху тіла, векторна величина, що для матеріальної точки дорівнює добутку маси точки на її швидкість та має напрямок швидкості. У системі СІ одиницею вимірювання імпульсу є кг·м/с, в системі СГС — [г·см/с]. Сума імпульсу для будь-якої замкнутої системи є величиною сталою. Закон збереження імпульсу - один із фундаментальних законів фізики, який стверджує, що у замкненій системі сумарний імпульс усіх тіл зберігається. Він звучить так: У замкненій системі, геометрична сума тіл залишається сталою при будь-яких взаємодіях тіл цієї системи між собою. Якщо на систему тіл зовнішні сили не діють або вони врівноважені, то така система називається замкненою, для неї виконується закон збереження імпульсу: повний імпульс замкненої системи тіл залишається незмінним за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою. Закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору. Згідно другому закону Ньютона для системи з N частинок: =F.