7. Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.

Задан отрезок [а,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условиеF(x0)*F"(x0) > 0).

В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Метод Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений

Итерационная формула имеет вид:

Иллюстрация метода Ньютона:

8. Суть метода итерации.

Метод простой итерации основывается на приведении исходного уравнения

к следующему виду: .При этом процесс последовательно приближается к корню строится на основе итерационной формулы . Чтобы получить формулу нужно провести цепочку преобразований ,где b-не равный нулю сомножитель.

9. Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесса при решении уравнения x=f(x) на отрезке [a, b], содержащего корень, методом простой итерации?

Т е о р е м а . Пусть уравнение  x= f(x) имеет единственный корень на отрезке [a, b]и выполнены условия:

1).  f(x)определена и дифференцируема на [a, b];

2).  для всех  ;

3). существует такое вещественное q, что   для всех  <..

Тогда итерационная последовательность x_n= f(x_{n -1)} n = 1,2...сходится при любом начальном члене 

10. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения x=f(x) методом хорд, касательных, итераций?

При решении уравнения методом хорд, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. При решении уравнения методом касательных, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(x)|> ε. . При решении уравнения методом итераций, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(xi)|> ε.

11. Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнения методом: хорд, касательных.

Формула нахождения значений последовательности при решении уранении методом хорд:

Формула нахождения значений последовательности при решении уранении методом касательных:

12. Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнения методом простой итерации?

Формула итерационной последовательности оказывается предельно простой: