Билет №1.

1)Функции y=cosx, её свойство и график.

2)Найдите наибольшее и наименьшее значение.

1) Свойства функции y=cosx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π

4. Функция y=cosx - чётная

5. Функция y=cosx принимает:

- значение, равное 0, при x=π2+πn,n∈Z;

- наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z

- наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n∈Z

- положительные значения на интервале (−π2;π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

- отрицательные значения на интервале (π2;3π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

6. Функция y=cosx

- возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

- убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

2)

Билет №2.

1)Функция y=sinx,её свойство и график.

2)Решите неравенство.

1) Свойства функции y=sinx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y=sinx периодическая с периодом T=2π

4. Функция y=sinx нечётная.

5. Функция y=sinx принимает:

- значение, равное 0, при x=πn,n∈Z

- наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z

- наименьшее значение, равное −1, при x=−π2+2πn,n∈Z

- положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

- отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

6. Функция y=sinx

- возрастает на отрезке

[−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

- убывает на отрезке

[π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

2)Sin t > ½.

Решение. Учтём, что sin t – это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой y > ½ и записать, каким числам t они соответствуют.

Ответ: π/6 + 2πK< t < 5π/6 + 2πK

Билет №3 .

1. Функция y=tgx, её свойство и график.

2. Решить неравенство .

1) Свойства функции y=tgx

1. Область определения - множество всех действительных чисел x≠π2+πn,n∈Z

2. Множество значений - множество R всех действительных чисел

3. Функция y=tgx периодическая с периодом π

4. Функция y=tgx нечётная

5. Функция y=tgx принимает:

- значение 0, при x=πn,n∈Z;

- положительные значения на интервалах (πn;π2+πn),n∈Z;

- отрицательные значения на интервалах (−π2+πn;πn),n∈Z.

6. Функция y=tgx возрастает на интервалах (−π2+πn;π2+πn),n∈Z.

2) Решить неравенство: а)tg t > .

Решение. А) Отметим на линии тангенсов точку P=P( ). Неравенство tg t > означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие выше точки Р. Прямая ОР пересекает числовую окружность в точках М1, М2; точкам, расположенным выше точки Р, соответствуют точки открытых дуг М1В, М2D. Аналитическая запись дуги М1В такова; 4 /3 + 2 K< t < 3 /2 + 2 K. Эти две серии решений можно объединить + < t < + .

Билет №4.

1. Решите простейшее уравнение sinx=а.

2. Найдите производную функции.

1)Пример:

Найти arcsin12

Выражениеarcsin12  показывает, что синус угла x равен12 , т.е. sinx=12.

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

 

точка12, находящаяся на оси y,  соответствует точке π6 на числовой окружности. Значит,arcsin12=π6

Обрати внимание!

Если sinπ6=12, то arcsin12=π6

В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

Теорема. Для любого a∈[−1;1] справедлива формула arcsin(−a)=−arcsina

  

Частные случаи: 1. sinx=0⇒x=πk,k∈Z.

2. sinx=1⇒x=π2+2πk,k∈Z

3.sinx=−1⇒x=−π2+2πk,k∈Z

2)

Билет №5

1. Решите простейшее уравнение cosx=a.

2. Найдите критические точки.

1) Пример:

Найти arccos2√2

Выражение arccos2√2  показывает, что косинус угла  xравен 2√2  (cosx=2√2).

  

Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:

 

число , являющееся значением осиx, соответствует точкеπ4  на числовой окружности.

Значит,arccos2√2=π4 

Обрати внимание!

если cosπ4=2√2, тоarccos2√2=π4

В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором – наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Теорема. Для любого a∈[−1;1] выполняется равенство arccosa+arccos(−a)=π

Частные случаи:

1.cosx=0⇒x=π2+πk,k∈Z

2.cosx=1⇒x=2πk,k∈Z

3.cosx=−1⇒x=π+2πk,k∈Z

Пример:

Решить уравнение cosx=25

Используем формулу x=±arccosa+2πk,k∈Z и получаем ответx=±arccos25+2πk,k∈Z

2)

Билет №6.