23. Производная функция, еѐ геометрический и механический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл производной. Награфике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Физический смысл: Скорость изменения функции

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

24. Интеграл определѐнный и неопределѐнный.

Интеграл функции — аналог суммы бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. В простейшем случае^[1] имеется в виду разбиение области интегрирования, являющейся отрезком, на бесконечно малые отрезки, и сумма произведений значения функции аргумента, принадлежащего каждому отрезку, и длины соответствующего бесконечно малого отрезка области интегрирования, в пределе, при бесконечно мелком разбиении:

Поэтому, неформально, определенный интеграл является площадью между графиком функции и осью абсцисс в пределах интегрирования, то есть площадью криволинейной трапеции.

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .