21. Ряды, сходимость, абсолютная сходимость, функциональные ряды. Представление функций рядами.

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида:

Числовой ряд   называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм  . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд   называется расходящимся.

Числовой (действительный или комплексный) ряд   называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд  .

Ряд   сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда   и   Где 

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  .

 — n-ная частичная сумма.

Сходимость функционального ряда

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность   его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность   его частичных сумм сходится равномерно.

-Необходимое условие равномерной сходимости

 при 

Или, что эквивалентно   , где Х - область сходимости.

-Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций  , определённых на множестве  , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого  , начиная с некоторого номера  , при всех  , больше либо равных  , одновременно для всех   значения функций   и   различались не более, чем на  .

-Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если   сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд   сходится, а   расходится, то ряд   называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

-Признаки равномерной сходимости

-Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

Ряд   сходится равномерно.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

-Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

Частичные суммы   равномерно ограничены.

-Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .

Ряд   равномерно сходится.

Представление функций рядами:

Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач:

- интегрирование функций, особенно функций, не имеющих элементарных первообразных;

- решение дифференциальных уравнений;

- приближение функций многочленами.

22. Элементы теории вероятностей. Случайные величины. Функция распределения. Нормальный закон распределения.

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытаний может принимать то или значение в границах определённого интервала. Например, действительный размер заготовки под обработку давлением является случайной величиной, так как в процессе её изготовления действует множество случайных факторов.

Дискретными случайными величинами называются такие, которые принимают отдельные, большей частью целочисленные значения. Например, количество заготовок есть дискретная случайная величина.

Непрерывной случайной величиной называется такая, которая может принимать любые численные значения из непрерывного ряда возможных значений. Таким образом, действительные размеры заготовки являются непрерывными случайными величинами. Они могут быть заданы в виде функции.

Для количественной оценки случайных величин пользуются числовыми характеристиками. К числовым характеристикам, определяющим положение центра группировки, относятся: среднее арифметическое, медиана и мода; к характеристикам, определяющим меру рассеяния - дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. . Полученное равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Распределением случайных величин называют совокупность значений этих величин, расположенных в возрастающем порядке. Центр распределения характеризуется математическим ожиданием.

Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называют распределение вероятностей. Такие распределения изучает теория вероятностей.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [f,b], называют определённый интеграл:

.

Математическое ожидание в инженерной практике оценивают средним значением результатов наблюдений.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения, т.е.:

.

Для среднего квадратичного отклонения имеем:

.

Симметрия рассеивания случайной величины характеризуется асимметрией. Для дискретных наблюдений:

Эксцесс (для дискретных наблюдений):

.

Асимметрия положительна (А>0), если длинная часть кривой распределения лежит справа от математического ожидания и отрицательная в противном случае. Если эксцесс некоторого распределения отличается от нуля и положительный (Э > 0), то кривая имеет более высокую и острую вершину и наоборот.

Известен ряд законов распределения непрерывных случайных величин: логарифмическое нормальное, полунормальное, гамма-распределение, бета-распределение и др. Центральное место среди законов распределения занимает нормальный закон распределения. Нормальным (распределением Гаусса) является распределение вероятностей случайной величины, которое описывается функцией:

.

Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю.

Исследование функции нормального распределения методами математического анализа приводит к следующим результатам: функция определена на всей оси х; при всех значениях х функция принимает положительные значения; ось х служит горизонтальной осью графика функции; при х=а функция имеет максимум, равный ; график функции симметричен относительно прямой х=а; точки графика являются точками перегиба.