Понятие выводимости

Пусть имеется конечная совокупность формул H = {A₁, A₂ ,…, A_n}. Говорят, что формула B выводима из совокупности H (можно записать как B├ H), если:

1. либо B H,

2. либо B – доказуемая формула исчисления высказываний,

3. либо B получается по правилу Modus ponens из формул C и C  B, которые выводимы из совокупности H.

Примеры

Рассмотрим, как можно установить доказуемость формул, используя правило подстановки и правило Modus ponens.

Доказать A  A  A

1. Возьмем аксиому (α  γ)  ((  γ)  ((α  )  γ)) и сделаем в ней подстановку (α, γ,   A, A, A). Получим: (A  A)  ((A  A)  ((A  A)  A));

2. Докажем выводимость A  A:

   1. Возьмем аксиому (α  (  γ))  (( α  )  (α  γ)) и сделаем в ней подстановку (α, γ,   x, y, x). Получим: (x  (y  x))  ((x  y)  (x  x));

   2. Из аксиомы x  (y  x) и правила Modus ponens имеем: (x  y)  (x  x);

   3. Выполним подстановку (y  x). Получим: (x  x)  (x  x);

   4. Из аксиомы x  x и правила Modus ponens имеем: x  x;

3. Из формулы x  x и правила Modus ponens имеем: (A  A)  ((A  A)  A);

4. Аналогично: (A  A)  A;

Формула доказана.

Логика предикатов

В алгебре логики высказываний собственно высказывания рассматриваются как неразделимые целые и только лишь с точки зрения их истинности или ложности. Стуктура высказываний или их содержание не рассматриваются. Другим недостатком логики высказываний является ее многословность – даже для описания простых ситуаций требуется значительное количество логических переменных и формул.

Главная идея логики предикатов заключается во взаимнооднозначном сопоставлении каждого уникального объекта с индивидуальной объектной константой, обозначаемой именем объекта, а класс однотипных объектов – с объектной переменной, значением которой являются объектные константы.

Например, рассмотрим высказывание «7 – простое число». Эту фразу в логике высказываний можно представить с помощью логической переменной, предположим a. Для того, чтобы представить на языке логики другое высказывание «13 – простое число» понадобится другая переменная. Таким образом, для описания простых чисел нам понадобится столько логических переменных, сколько существует простых чисел. На языке логики предикатов эта фраза может быть представлена так: простое_число(7). А весь набор подобных фраз: простое_число(значение). В данном примере простое_число – это предикатный символ, 7 – объектная константа, а значение – объектная переменная.

Предикатом называют высказывательную функцию, определенную на множестве наборов значений объектных переменных. Эта функция может принимать только два значения: Истина или Ложь, называемые истинностными значениями. Предикаты могут быть одноместными, если аргумент один, или многоместными – если аргументов несколько. Отношения между объектами среды, также как и в логике высказываний, представляются в виде предложений (формул), состоящих из переменных, констант, связок, скобок, а также функций, предикатов и кванторов.