- •Алгебра логики высказываний Основные понятия
- •Законы алгебры логики
- •Функции алгебры логики
- •Представление произвольной логической функции в виде формулы алгебры логики
- •Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма
- •Минимизация булевых функций. Карты Карно
- •Решение логических задач средствами алгебры логики
- •Классическое исчисление высказываний
- •Натуральное исчисление высказываний
- •Исчисление высказываний
- •Понятие выводимости
- •Примеры
- •Логика предикатов
- •Объектные константы
- •Объектные переменные
- •Функции
- •Предикатный символ
- •Кванторы
- •Равенство
- •Аксиомы, теоремы, факты и цели
- •Переход от естественного языка к языку логики предикатов
- •Предваренная нормальная форма
- •Примеры
- •Исчисление предикатов
Решение логических задач средствами алгебры логики
Суть применения методов алгебры логики к решению логических задач состоит в том, что, имея конкретные условия логической задачи, стараются записать их в виде формулы алгебры логики. В дальнейшем путем построения таблицы истинности или равносильных преобразований упрощают полученную формулу. Наконец, простейший вид формулы, как правило, приводит к ответу на все вопросы задачи.
В качестве примера рассмотрим одну из элементарных логических задач. По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот, что они утверждали:
Браун: «Я совершил это. Джон не виноват».
Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит».
Смит: «Я не виноват, виновен Браун».
Необходимо определить имена старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.
Решение этой задачи начинается с введения обозначений: буквами Б, Д и С обозначим высказывания: «виноват Браун», «виноват Джон» и «виноват Смит» соответственно. Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций:
Б Д, Б С, Б С,
из которых, по условию задачи, две ложны, а одна истинна. Поэтому будет истинной формула
L = (Б Д) ( Б С) (Б С).
Таблица истинности этой формулы имеет вид:
Б
|
Д
|
С
|
Б Д |
Б С |
Б С |
L |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы видно, что формула L истинна в пяти из восьми случаев. Случай, представленный в пятой строке, следует исключить из рассмотрения, так как здесь оказываются истинными две конъюнкции, а это противоречит условию задачи. В строках 4, 6 и 7 оказываются истинными по два высказывания: Д и С, Б и С, Б и Д, соответственно, что также противоречит условию задачи. Следовательно, справедлив случай 7, то есть преступник – Смит. Он – известный мошенник, и оба его высказывания ложны: Б С 0. При этом высказывания Б и Д ложны. Значит, истинна пара высказываний Джона, а у Брауна первое высказывание ложно, а второе истинно. Отсюда ясно, что Джон – уважаемый в городе старик, а Браун – Малоизвестный чиновник.