Исчисление высказываний

Для определения значения логических формул можно воспользоваться таблицами истинности. Однако, построение таблицы истинности не всегда возможно или удобно. Например, в силу ее значительной размерности для большого числа переменных. Поэтому, наряду с таблицами истинности пользуются и другими, аналитическими способами вычисления значений логических формул.

Логическим исчислением или просто исчислением называют четверку, которая включает в себя:

• Алфавит (совокупность используемых символов);

• Синтаксические правила построения формул в алфавите;

• Аксиомы (общезначимые формулы или тождественно истинные формулы);

• Правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.

Основное назначение исчисления высказываний – доказательство истинности формул на основании аксиом или других истинных формул. Для этого вводятся специальные правила вывода вида α ├ , где α называется условием,  – следствием, которые позволяют по истинности α заключить об истинности . Если в условии или следствии несколько формул, то они записываются через запятую. Если из истинности всех формул, входящих в условие, следует истинность всех формул входящих в следствие, правило называют состоятельным. Доказательство состоятельности можно осуществить через построение таблицы истинности, где в строках перечислены все модели условия. Если всем этим условиям соответствуют истинные следствия, то правило состоятельно.

Классическое исчисление высказываний

Исчислением высказываний называют исчисление, в котором в качестве алфавита взят алфавит логики высказываний, в качестве синтаксических правил – синтаксические правила логики высказываний, в качестве аксиом – некоторое множество общезначимых формул, а в качестве правил – правила Modus ponens и правило подстановки.

В классическом исчислении высказываний приняты следующие аксиомы:

1. α  (  α),

2. (α  (  γ))  (( α  )  (α  γ)),

3. (α  )  α,

4. (α  )  ,

5. α  (α  ),

6.   (α  ),

7. (α  )  ((α  γ)  (α  (  γ)),

8. (α  γ)  ((  γ)  ((α  )  γ)),

9. (α  )  (  α),

10. α  α,

11. α  α.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода:

• Modus ponens. Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия импликации: α, α├ .

• Правило одновременной подстановки. Из формулы α(р), где р – переменная, выводима формула α(R), где R – формула, получаемая заменой в α(р) каждого вхождения переменной р на формулу R: α (р) ├ α (R). В общем случае будем обозначать подстановку (x₁,…, x_n  α₁,…, α_n).

Таким образом, доказуемой формулой называется всякая формула, которая или является аксиомой, или получается из доказуемых формул с помощью правил подстановки и Modus Ponens.

Натуральное исчисление высказываний

При практическом решении задач удобнее пользоваться не законами логики, а правилами из заменяющими. В натуральном исчислении высказываний помимо правил Modus ponens и подстановки используют следующие:

• Исключение конъюнкта. Из истинности конъюнкции следует истинность любого ее конъюнкта:

α₁  α₂  …  α_n ├ α_i.

• Введение конъюнкции. Из списка истинных формул следует истинность их конъюнкции:

α₁, α₂, …, α_n ├ α₁  α₂  …  α_n.

• Введение дизъюнкции. Из истинности формулы следует истинность ее дизъюнкции с любыми другими формулами:

α₁ ├ α₁  α₂  …  α_n.

• Исключение двойного отрицания. Из истинности двойного отрицания формулы следует истинность ее самой:

α ├ α.

• Простая резолюция (удаление дизъюнкта). Из истинности дизъюнкции и отрицания одного из ее дизъюнктов следует истинность формулы после удаления этого дизъюнкта:

α  ,  ├ α.

• Резолюция. Из истинности двух дизъюнкций, одна из которых содержит дизъюнкт, а другая его отрицание следует формула, являющаяся дизъюнкцией исходных формул после удаления этого дизъюнкта:

α  ,   γ ├ α  γ.