13. Постановка и математическая модель задачи распределения балластного тоннажа, критерий оптимизации. Алгоритм решения задачи методом потенциалов.

Задача состоит в том, чтобы наилучшим образом перераспределить образовавшийся в портах избыток тоннажа на порты с его недостатком. Для решения используются данные из табл. определение портов с избытком и недостатком тоннажа. Формулировка задачи сводится к следующему. Имеются m портов с избытком тоннажа и n с недостатком. Расстояния между портами – lij, количество тоннажа в портах с избытком ai, (i=1,m); количество потребного тоннажа в портах с недостатком bj, (j=1,n). Необходимо найти такой оптимизационный план распределения тоннажа (xij=Dчij), при котором пробег балластных судов был бы минимальным. Сформулированная задача относится к числу специальных задач линейного программирования – транспортных. Математическая модель транспортной задачи (далее ТЗ) выглядит следующим образом.

Целевая функция: Z = LijXij-min. Где Xij – тоннаж перемещающийся по заданным портам. При этом очевидно, что из каждого порта должно уйти в балласте все кол-во тоннажа, не обеспеченного грузом Ai во все порты, где есть груз, не обеспеченный тоннажем. Поэтому первое ограничение Xij=Аi, так же кол-во тоннажа, прибывшего в балласте в каждый j-й порт, должно быть равно потребностям этого порта в тоннаже Xij=Вj. В модель должно быть включено условие неотрицательности, так как отрицательные значения балластных переходов не имеют эксплутационного смысла Xij≥0. Далее строится матрица транспортной задачи на минимум балластных пробегов. По вертикали порты с избытком тоннажа, по горизонтали – с недостатком. В итоговой строке и столбце указывается количество тоннажа (+-).

В Матрице располагается не только информация из модели задачи, но и искомый план перемещения тоннажа: каждая клетка основного блока таблицы характеризует передвижение балласта из порта i в порт j и соответствует одной из mxn переменных плана X=(xij). Расстояния между портами в морских милях являются элементами xij матрицы и располагаются в правом верхнем углу каждой клетки. Транспортная задача разрешима, т.е. для нее существует хотя бы один план и целевая функция ограничена, если для нее выполняется условие баланса: Ai = Bi. Это условие обеспечивается предыдущими расчетами, ТЗ считается сбалансированной, а ее модель – закрытого типа. Методов решения таких задач может быть несколько. Один из них – метод потен-

циалов, наиболее точный метод решения транспортных задач. Решение начинают с составления исходного опорного плана. Можно воспользоваться любым методом составления исходного плана: метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод двойного предпочтения и др. В каждом из перечисленных методов по-разному определяется приоритет – последовательность загрузки клеток, т. е. отыскание

значения xij при построении плана перевозок. Полученный опорный план должен удовлетворять условию такому, что число заполненных клеток на единицу меньше суммы числа портов с избытком и недостатком тоннажа, т.е. m+n-1. Такие опорные планы ТЗ,

которые содержат в точности m+n-1 ненулевых клеток, называют невырожденными. Опорный план будет вырожденным, если число ненулевых клеток в нем меньше m+n-1. В этом случае вводится дополнительная клетка, где xij = 0, так чтобы выполнялось условие m+n-1 для опорного плана. Чтобы воспользоваться методом потенциалов для решения ТЗ, необходимо присвоить дополнительные переменные: строкам – ui и столбцам – vj. Ui – берется произвольно, это максимальное расстояние в табл. Необходимое и достаточное условие оптимальности плана ТЗ:

– для свободных клеток плана:Vj – Ui ≤ lij

– для всех занятых клеток плана:Vj – Ui = lij

Условия (5.1) и (5.2) принято называть условиями потенциальности плана, а признак оптимальности более кратко можно формулировать так: опорный план ТЗ оптимален, если он потенциален. Если план не оптимален, то ту клетку которую мы улучшаем ставим (+) это будет одна величина контура, остальные величины контура содержат заполненные клетки и стороны должны пересекаться под прямыми углами. Далее знаки чередуются. Из заполненных клеток со знаком (-) выбираем миним. значение, которое в последствие передвигаем по контуру. И далее процедура выполняется пока не будет найден оптим. план. Далее считается целевая ф-ия для первого и последнего плана (значение в каждой заполненной клетке*расстояние).

Алгоритм решения задачи методом потенциалов.

Процесс решения задачи состоит из предварительного шага и повторяющегося общего шага. Предварительный шаг включает следующие операции:

1. Составляется исходный опорный план одним из известных методов (например: минимального элемента).

2. Строится схема m+n-1 и вводятся доп. переменные ui и vj кот. определяются на основе системы равенств (5.2).

3. План исследуется на оптимальность с помощью системы неравенств (5.1).

Если построенный план на предыдущем шаге не оптимален, то применяется повторяющийся шаг, который состоит из трех операций.

1. План улучшается с помощью пересчета процедуры по циклу. Цикл строится для той свободной клетки, в которой расхождение максимальное.

2. Плану ставится в соответствие новая система потенциалов vj ,ui на основе соотношений (5.2).

3. План исследуется на оптимальность с использованием соотношений (5.1).

Шаг повторяется до тех пор, пока не будет получен оптимальный план.

14. Постановка и математическая модель задачи оптимальной расстановки флота. Характеристика методов решения задачи по расстановке флота. (у нас только алгоритм построения схемы движения) + кратко 15 вопрос

Общая задача расстановки флота возникает на этапе годового планирования в связи с тем, что на новый плановый период изменяются объемы перевозок, параметры некоторых линий и направлений, ставятся задачи перевозки новых грузов, поступают в эксплуатацию новые суда, кроме того происходит изменение цен на топливо, материалы, уровень з/платы. В связи с учетом этих изменений необходимы обоснованные решения, обеспечивающие выполнение текущего плана, повышение эффективности эксплуатации флота.

Постановка задачи расстановки флота.

Имеется m-типов судов, кот.должны обеспечить перевозки на заданных направлениях с грузооборотом Q1, Q2…..Qn

Pij – провозоспособность с i-го типа судна на j-ом направлениях. Расходы по использованию судна на j-ом направлении Cij, руб.

Если обозначить долю экспл-го периода, затрачиваемого i-м типом судна для работы на j-ом направлении через tij, то задача расстановки флота сводится к определению плана распределения бюджета времени судов для освоения задачи грузопотока на каждом направлении.

Математическая постановка задачи

∑^m_i=1∑ⁿ_j=1 tij * Cij→min

Ограничения: ∑ⁿ_j=1 tij ≤1 , общее суммарное время работы каждого судна на заданных направлениях ограничено эксплуатационным периодом и Тэ = 1

∑^m_i=1 Pij* tij = Qj, запланированный объем перевозок на каждой линии должен быть выполнен

tij ≥0, если в качестве критерия оптимальности взять прибыль или доход судна от перевозки, то целевая функция должна стремиться к максимуму

Задача распределения флота по видам плавания и формам судоходства на практике решается опытным путем или расчетным методом. Для решения задачи опытным путем идет предположением, что распределение флота на группы трампового судоходства, линейного, по конкретным линиям и направлениям произошло. Распределение судов опытном методом производится с учетом совокупных результатов анализа (по грузоподъемности, финансовым показателям и отбора судов по технико-эксплуатационным ограничительным признакам). Но это метод приближенный и предварительный, и носит косвенный характер, обоснованный на ориентировочные результаты, достигнутые на отдельных линиях и направлениях. Решение экономико-математических методов ведется по следующей схеме: предварительно распределяется имеющийся флот по технико- эксплуатационным ограничительным признакам. Принимается решения о закреплении отдельных типов судов на определенных линиях и направлениях.

Отдельно обосновывается оптимальная расстановка судов на линиях и направлениях.Методы расстановки бывают графические, методы линейного

программирования (метод потенциалов), приближенные методы (метод почти

оптимальных планов)