Подграфы и части графа

Пусть G (V, E) – исходный граф (рис. 2.9).

Р исунок 2.9

G’(V’, E’) – часть графа – это могут быть все вершины, но дуги не все.

V’ V, E’ E (V’ V’).

Если у части графа V’ = V, то ее называют суграфом.

G”(V”, E”) – подграф – часть графа, в которой сохранены все ребра, связывающие вершины графа V” V, E” = Е (V” V”).

Гомоморфизм и изоморфизм графов. Пусть имеем граф g (V, e) (рис. 2.10). И пусть имеется отображение: : V  V, при котором

a,b, a, b  V   (a),  (b),  (a),  (b)  V.

Такое отображение называется гомоморфизмом.

Р исунок 2.10

Если отображение взаимно однозначно: : V  V, то это изоморфизм.

Изоморфные графы эквивалентны с точность до обозначений вершин.

2.2 Матричная форма представления графов

Матрица смежности – это квадратная матрица А = , число строк и столбцов в которой равно числу вершин графа n, а элементы определяются по правилу

а_ij =

где e_ij – ребро (дуга), соединяющее вершины i и j.

Матрица А задает граф с точностью до изоморфизма (по графическому представлению графа однозначно строится матрица, а по матрице – графическое представление графа).

Два графа эквивалентны, если равны их матрицы смежности.

Два графа эквивалентны, если их матрицы смежности можно сделать одинаковыми путем одновременной перестановки строк и столбцов в одной из них.

Вот пример матрицы смежности

A_{6 6} = .

Для неорграфа матрица смежности симметрична относительно главной диагонали. Для орграфа матрица смежности не симметрична.

Для мультиграфа и псевдографа:

a_ij=

m(x_i, x_j) –число ребер между вершинами х_i и х_j.

Если на вершинах графа заданы веса, то вводится дополнительный массив W длины n, в котором элемент w(i) задает значение веса вершины графа.

Если на ребрах (дугах) заданы веса, то для их задания применяется матрица смежности, но значения элементов равны весам связей.

Для мультиграфа, псевдографа с весами на ребрах и дугах используется трехмерная матрица, где третья размерность используется для записи веса ребра, дуги, петли.

Матрица инцидентности S = , имеет n строк и m столбцов, где n – число вершин в графе, m – число ребер (дуг) в графе. Элементы этой матрицы определяются по следующим правилам.

Для неорграфа

s_ij =

Вот пример матрицы инцидентности неорграфа.

S_{6 7} = .

Для орграфа учитывается ориентация:

s_ij =

Здесь каждый столбец содержит один элемент, равный +1, и один элемент, равный –1, либо константу.

Два графа эквивалентны, если равны их матрицы инцидентности.

Для псевдографа показанного на рис. 2.11, получим такую матрицу (номера строк и столбцов соответствуют индексам вершин, ребер и дуг):

S_{6 9} = .

Матрица S задает граф с точностью до изоморфизма.

основное преимущество матрицы А перед матрицей S в том, что за один шаг алгоритма можно получить ответ на вопрос: есть ли ребро из вершины х_i в х_j?

Основной недостаток матрицы А – большой объем памяти независимо от числа ребер: n².

Если заданы веса, то используются дополнительные векторы весов вершин и ребер (дуг).

Р исунок 2.11

2.3 Операции над графами

Дополнение графа G(V,E) до полного графа

Объединение графов G₁ G₂ = G(V₁ V₂, E₁ E₂) (рис. 2.12).

Р исунок 2.12

Обратите внимание – ребра е₆ и е₁₀ – это разные связи вершин 2 и 4. В следующих двух операциях участвуют графы G₁(V₁,E₁) и G₂(V₂,E₂).

Пересечение графов G₁ G₂ = G(V₁ V₂, E₁ E₂) (рис. 2.13) при условии

Кольцевая сумма графов G₁ G₂ = G(V = V₁ V₂, E = E₁ E₂ = E₁\E₂ E₂\E₁) (рис. 2.14).

Рисунок 2.13 Рисунок 2.14

С оединение графов G₁ + G₂ = G(V=V₁ V₂, E=E₁ E₂ ) (рис. 2.15).

Рисунок 2.15