1.8 Отображения, преобразования и перестановки

Отображением множества А в множество В называется всюду определенное соответствие g: А→В, т.е. соответствие, у которого Пр₁G = A.

Отображением А на В называется всюду определенное и при этом сюръективное соответствие g: А→В, т.е. соответствие, у которого Пр₁G = A и Пр₂G = B.

отображение множества A в B или A на B обозначают так .

Отображение типа А → А называют преобразованием множества А.

Функция типа А→А, являющаяся отображением А на А, называется перестановкой на А.

Отображение может быть и неоднозначным. Тогда совокупность элементов b для одного a обозначается как Ga . Множество Ga – это образ элемента a в множестве B. Элемент a называется прообразом множества Ga.

Пусть имеется отображение G: А→В, где для любого a образом является Ga , и пусть имеется множество A₁ . Совокупность всех , являющихся образами всех a , называется образом множества A₁ и обозначается GA₁ = .

Если A₁ и A₂ подмножества A, то образ объединения этих подмножеств равен объединению их образов в любом однозначном или неоднозначном отображении .

Действительно можно показать, что:

Однако соотношение будет , т.е. образ пересечения подмножеств равен пересечению их образов. справедливо только при однозначном отображении.

Пусть ,

где – область неоднозначности.

Покажем, что

Если (область неоднозначности пуста), то

.

Довольно часто рассматриваются отображения на одном множестве , которые представляются парой (A, G), где G = A x A = A².

Пусть G и D отображения A в A.

Композиция этих отображений будет G(D). Если D = G, то G(G) = G², G²(G) = G³ и т.д.

Если принять G⁰ = a, то это правило можно распространить и на отрицательные степени G⁰ = G (G^–1) = G G^–1 = a.

Это означает, что G^–1 является обратным отображением.

Продолжая, находим G^–1(G^–1) = G^–2 и т.д.

Для отображений множеств определены прямое и обратное транзитивные замыкания – многократное отображение G или G ^–1 множества A самого на себя.

Прямое транзитивное замыкание определяется по выражению

для всех .

Обратное транзитивное замыкание определяется по выражению

для всех .

1.9 Отношения

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множеств. Чаще всего используются унарные и бинарные отношения.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого–то определенного признака R (свойства и т.п.) у элементов множества М (например, "быть четным" на множестве натуральных чисел). Тогда все такие элементы а из множества М, которые отличаются данным признаком R, образуют некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т.е. и .

Бинарные (двухместные) отношения используются для определения каких–то взаимосвязей между парами элементов множества М (так, на множестве людей могут быть заданы, например, следующие бинарные отношения: "жить в одном городе", "быть моложе", "быть сыном", "работать в одной организации" и т.п.). Тогда все пары (а, b) элементов из М, между которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество пар из множества всех возможных пар элементов = М ², называемое бинарным отношением R, т.е. , при этом .

В общем случае могут рассматриваться п–местные (n–арные) отношения, например отношения между тройками элементов – трехместные (тернарные) отношения и т.д.

Вот пример тернарного отношения “образовывать сумму” x + y = z и отношения для четверок –“находиться в отношении пропорциональности” x/y = z/v.

Под п–местным отношением понимают подмножество R прямого произведения п множеств: .

Говорят, что элементы а₁, а₂, ..., а_n находятся в отношении R, если

Если n–местное отношение R задано на множестве М, т.е.

M₁= M₂ =…= M_n = М, то

Рассмотрим детально бинарные отношения.

Итак, двухместным, или бинарным, отношением R называется подмножество пар прямого произведения , т.е. . При этом по аналогии с соответствиями множество М₁ называют областью отправления отношения R, множество М₂ – областью прибытия. Часто рассматривают отношения R между парами элементов одного и того же множества М, тогда . Если а и b находятся в отношении R, это записывается как аRb.

С отношениями связаны еще два понятия:

1) область определения D(R) и

2) область значений Q(R),

Эти понятия определяются соответственно, как и .

На рис. 6.1 приведен условный пример отношения .

Рисунок 6.1 – Пример отношения R

Для задания бинарных отношений годятся любые способы задания множеств, так как отношения это подмножества некоторых множеств – прямых произведений двух множеств.

Отношения, определенные на конечных множествах, обычно задаются списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется. Например, R = {(а, b), (а, с), (b, d)}.

Кроме такого представления, заимствованного у множеств, для отношений применяют также представление в виде матриц и графов.

Бинарному отношению , где M = {а₁, а₂,..., а_п}, соответствует квадратная матрица порядка п, в которой элемент c_ij, стоящий на пересечении i–ой строки и j–ого столбца, равен 1, если между элементами a_i и а_j имеет место отношение R, или 0, если оно отсутствует:

Если , где M₁ = {а₁, а₂,..., а_п}, M₂ = {b₁, b₂,..., b_m}, то матрица получается прямоугольной с n строками и m столбцами.

бинарному отношению , где M = {а₁, а₂,..., а_п}, соответствует ориентированный граф (орграф), вершины которого взаимно однозначно соответствуют элементам множества М, а дуги соответствуют отношениям между элементами множества М. Например, дуга, соединяющая пару элементов а_i и а_j в направлении от а_i к а_j, показывает наличие отношения а_iRа_j.

Если , где M₁ = {а₁, а₂,..., а_п}, M₂ = {b₁, b₂,..., b_m}, то граф получается двудольный (см. [16]): одна доля – множество вершин M₁, другая доля – множество вершин M₂, а дуги соответствуют отношениям а_iRb_j.

Введем следующие понятия:

Пустое отношение – отношение, которое не выполняется ни для одной пары элементов множества М. Обозначается это отношение символом .

Матрица этого отношения содержит только 0, а граф состоит только из вершин (нуль граф).

Полное отношение – отношение, которое выполняется для любой пары элементов множества М. Обозначается оно U = .

Матрица этого отношения содержит только 1. В графе этого отношения каждая вершина соединена дугой с каждой вершиной, включая ее самою (полный граф).

Диагональное отношение E (оно же тождественное отношение, оно же отношение равенства) – отношение aEb, которое выполняется только, если a и b это один и тот же элемент.

В матрице этого отношения элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, а остальные элементы равны 0. В графе этого отношения, кроме петель при каждой вершине, других дуг нет.

Так как отношения задаются подмножествами (или , если М₁ = М₂ = М), то для них определимы те же операции, что и над множествами. Разберём эти операции более подробно.

Объединение :

или .

Отношение выполнено, если выполнено хотя бы одно из отношений и .

Определим объединение R₁ и R₂

{(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,4), (4,1), (4,3), (4,4)};

Пересечение :

и .

Отношение выполнено, если одновременно выполнены отношения и .

Для отношений примера 1 находим

{(2,3), (2,4), (4,4)};

Дополнение : Дополнение множества R до полного множества U – это множество таких пар, что и , или множество пар U без множества пар R:

=U\R, где U = M₁ х М₂ (или U = M ²).

В нашем случае

{(1,1), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)};

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2)}.

Разность R₁\R₂:

R₁\R₂ = и ,

т.е. множество пар R₁ без множества пар R₂.

Для отношений примера 1 получаем

R₁\R₂ = {(1,2), (1,4), (3,4), (4,1)}.

Симметрическая разность

R₁ R₂ = или , но }.

Это множество пар, принадлежащих или R₁ или R₂, но не принадлежащих R₁ и R₂ одновременно.

В нашем случае R₁ R₂ = {(1,2), (1,4), (2,1), (3,4), (4,1), (4,3)}.

Кроме этих операций, заимствованных у множеств, над отношениями определяют такие операции:

Обратное отношение R^–1:

R^–1 = .

Отношение bR^–1a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется aRb.

Составное отношение (композиция, произведение) R₁○R₂ (применяют и такое обозначение R₁R₂).

Пусть заданы множества М₁, М₂, М₃ и отношения и . Составное отношение действует из М₁ в М₂ посредством R₁, а затем из М₂ в М₃ посредством R₂, т.е. R_l○R₂, если существует такое с М₂, что (а, с) R₁ и (с, b) R₂. На рис. 6.4 показаны множества М₁, М₂, М₃, в них – области определений D(R₁), D(R₂) и области значений Q(R₁) и Q(R₂), заштрихованные в разных направлениях для R₁ и R₂. Сегменты с двойной штриховкой на М₁, М₂, М₃ представляют собой D(R₁○R₂), и Q(R₁○R₂) соответственно.

Р исунок 6.4 – Пример, поясняющий формирование

составного отношения

В частности, если отношение R определено на множестве М, R М², то составное отношение R○R={(a,b):(a,c),(c,b) R}.

Например, если R – "быть сыном", то R○R – "быть внуком".

Прямое транзитивное замыкание R° состоит из таких и только таких пар элементов а, b из М, т.е. (a, b) R°, для которых в M существует цепочка из (k+2) элементов М, k 0: а, с₁, с₂,..., с_k, b, между соседними элементами которой выполняется отношение R: aRc₁, c₁Rc₂,..., c_kRb, т.е. R° = {(a, b): (a, c₁), (c₁, c₂),..., (с_k, b) R}

Это правило справедливо, если цепочка состоит и из двух элементов. Следовательно, если выполнено aRb, то выполнено и aR°b, поэтому можно записать .

Если цепочка состоит из трех элементов, то можно записать aRс и сRb или aRRb, если цепочка состоит из четырех элементов, то aRRRb. Продолжая, можно заключить, что aR°b выполняется, если выполнено хотя бы одно отношение вида aRR… Rb. Этот факт можно записать формально в виде объединения степеней отношения R:

R° =

Например, для отношения R – "быть сыном" составное отношение (композиция) R○R = R² – "быть внуком", R○R○R = R³ –"быть правнуком" и т.д. Тогда объединение всех этих отношений есть транзитивное замыкание R° – "быть прямым потомком".

Степени отношения R определяются так же, как и R○R = R² с учетом того, что Rⁿ = R^n–1○ R.

Аналогично может быть определено обратное транзитивное замыкание:

R^–° = {(d, a): (d, e_k), (e_k-1, e_k-2),..., (e₁, a) R^-1}

R^–° =

Например, для отношения R^–1 – "быть сыном" составное отношение (композиция) R^–1○R^–1 = R^–2 – "быть отцом", R^–1○R^–1○R^–1 = R^–3 –"быть дедушкой" и т.д. Тогда объединение всех этих отношений есть обратное транзитивное замыкание R^–° – "быть прямым предком (по мужской линии)".

Рефлексивное замыкание R*. Пусть тождественное отношение Е= {(а, а): а М}. Тогда R* = R° E.

Это прямое рефлексивное замыкание. Если вместо прямого транзитивного замыкания R° использовать обратное транзитивное замыкание R^–°, то получим обратное рефлексивное замыкание R^–*.

Если R транзитивно и рефлексивно, то R* = R и R^–* = R^–1.

Редукция R^r. Редукция применяется для отношений порядков. По смыслу эта операция обратна транзитивному замыканию. Редукцией отношения R называется отношение R^r, определяемое условием R^r = R\R².

Это означает, что отношение aR^rb выполняется в тех и только тех случаях, когда выполнено само отношение aRb, но не существует промежуточного элемента с такого, что aRс и сRb. Отношение aR^rb означает непосредственную связь элемента a с элементом b.

2 Графы