2.1 Вершины, ребра (дуги), графы
Совокупность множества вершин V и множества связей Е между ними называется графом и обозначается G(V, E).
На рис. 2.1 показан пример графа G(4,6), где обозначено:
V = {x1, x2, x3, x4} – множество вершин,
n = |V| = 4 – число вершин графа G(4,6),
E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} – множество ребер,
m
= |E|
= 6 – число ребер графа G(4,6).
E
– это отображение V
в V
(E:
V
V).
Рисунок 2.1
Иногда множество E называют семейством связей, так как в E могут входить направленные и ненаправленные связи, петли и все они могут быть кратными, тогда как в теории множеств одинаковые элементы представляются одним элементом.
В качестве другого примера на рис. 2.2 показано семейство графов на четырех вершинах.
Обратите внимание на общепринятые обозначения некоторых графов:
N4 – нуль граф;
P4 – цепь;
C4 – цикл;
W4 – звезда;
K4 – полный граф, в нем каждая вершина имеет связь со всеми другими вершинами.
В общем случае эти типы графов обозначаются так:
Nn, Pn, Cn, Wn, Kn.
Обратим внимание на граф C4. Этот граф можно представить и так, как показано на рис. 2.3. Такой граф обозначается K2,2 и называется полным двудольным графом.
В двудольном графе множество вершин V разбито на два подмножества X и Y таких, что между вершинами внутри каждого из них нет связей. Число ребер в полном двудольном графе m = n1n2, где n1 =|X|, n2 = |Y|, n = n1 + n2.
Р
исунок
2.2
Р
исунок
2.3
Если связь имеет направление, то она называется дугой, в противном случае – ребром. (Графы с дугами и ребрами показаны на рис. 2.4.)
Р
исунок
2.4
При необходимости конкретная дуга (ребро) обозначается либо собственным именем, либо парой вершин в круглых (прямых) скобках e = (v1,v2) – дуга e, (e = [v1,v2] – ребро e).
Граф, у которого все связи являются ребрами, называется неориентированным графом или сокращенно неорграфом (рис. 2.4, а).
Граф с дугами называется ориентированным графом или орграфом (рис. 2.4, б).
Ребро (дуга), оба конца которого связаны с одной и той же вершиной, называется петлей (рис. 2.5).
Р
исунок
2.5
Если у графа существуют кратные ребра, т.е. несколько ребер, соединяющих одну и туже пару вершин, то такой граф называется мультиграфом. Если все ребра мультиграфа имеют одинаковую кратность k, то такой граф называется k–кратным или просто k–графом. На рис. 2.6 показан мультиграф G(6,20):
а, в – две вершины графа; e1, e2, e3, e4 – кратные ребра, соединяющие вершины а и в.
Граф называется псевдографом, если множество Е включает ребра, дуги, петли и все они могут быть кратными (рис. 2.7).
Р
исунок
2.6
Две вершины называются смежными, если они соединяются некоторым ребром (дугой), и два различные ребра (дуги) смежны, если они имеют общую вершину. На рис. 2.8 у графа G(3,3) смежные вершины a и b; a и c; b и c, а также смежные дуги e2 и e3, смежные ребро e1 и дуга e2, смежные ребро e1 и дуга e3.
Две вершины называются смежными, если они соединяются некоторым ребром (дугой), и два различные ребра (дуги) смежны, если они имеют общую вершину. На рис. 2.8 у графа G(3,3) смежные вершины a и b; a и c; b и c, а также смежные дуги e2 и e3, смежные ребро e1 и дуга e2, смежные ребро e1 и дуга e3.
Вершина х инцидентна ребру (дуге) е, если она является началом или концом ребра (дуги). На рис. 2.8 вершины a и b инцидентны ребру e1, вершины b и c инцидентны дуге e2.
Дуга (ребро) е инцидентна вершине x, если она выходит из этой вершины или входит в нее. На рис. 2.8 дуга e2 инцидентна вершинам b и c.
Р
исунок
2.7
Р
исунок
2.8