2.14 Планарные графы

Планарный граф – это граф, допускающий укладку на плоскости, т.е. он может быть изображен на плоскости так, что никакие ребра не имеют общих точек, кроме своих вершин. Изображение графа на плоскости с соблюдением этого условия называется плоским графом.

Планарность нужна, например, для реализации печатного монтажа, в процессе разработки которого схема устройства представляется в виде графа: элементы – вершины, связи между выводами элементов – ребра.

Если граф не планарен, то приходится удалять (переносить на другой слой, на другую плоскость) отдельные ребра. Минимальное число ребер, которое надо удалить для получения плоского изображения, называется числом планарности графа и обозначается (G). Для полных графов с

(K_n) = (n–3)(n–4)/2.

Из формулы следует, что при n = 4 (K₄) = 0. Для K₅ (K₅) = 1, следовательно, чтобы граф K₅ стал плоским, из него надо удалить одно ребро.

При перенесении на вторую плоскость, перенесенная часть может опять оказаться не плоской. Тогда отдельные ребра переносят на новую плоскость и т.д. Минимальное число плоскостей, при котором граф разбивается на плоские части, называется толщиной графа и обозначается t(G).

Толщина произвольного графа удовлетворяет неравенству

t(G) .

Здесь [x] – целая часть x.

Толщина полных графов удовлетворяет неравенству

t(K_n) .

Например, для K₅ t(K₅) = 2.

Ответ на первый вопрос: – Граф планарен? – можно получить, если воспользоваться условиями планарности.

У связного плоского графа с n 3 число ребер m удовлетворяет условию

У связного плоского двудольного графа

У плоского графа кроме вершин и ребер можно выделить еще один геометрический образ – грань. Область плоскости, ограниченная ребрами связного плоского графа и не содержащая внутри себя ни ребер, ни вершин, называется его гранью. Внешняя неограниченная грань называется бесконечной гранью. У графа без циклов ровно одна грань – бесконечная. Не следует думать, что она какая–то исключительная. При укладке графа на сферу эта грань ничем не будет отличаться от других.

Число граней f в связном плоском графе определяется из соотношения:

f = m – n + 2,

где n – число вершин, m – число ребер.

Пусть задана часть G₁ = (V₁, E₁) графа G = (V, E).

Будем называть куском графа G относительно G₁:

1. ребро вместе с его концами, которые принадлежат V₁,

2. а также компоненту связности G’_i = (V’_i, E’_i) подграфа, порожденного подмножеством вершин V\V_l, дополненную всеми ребрами, инцидентными вершинам из V'_i, и всеми вершинами этих ребер, принадлежащими V₁ , которые называются «контактными точками»;

Алгоритм использует последовательный процесс присоединения к некоторому плоскому подграфу цепи , оба конца которой (и только они) – вершины . Эта цепь разобьет одну из граней на две.

В качестве начального плоского графа выбирают некоторый цикл графа G. Чтобы перейти от подграфа к , предварительно рассматривают все куски P_j графа G относительно .Грань f_k графа и кусок Р_j совместимы, если все его контактные точки принадлежат множеству вершин этой грани.

Для каждого куска определяем грани, которые с ним совместимы. Возможны три случая:

1. Некоторый кусок не совместим ни с какой гранью графа . Тогда граф не плоский.

2. Какой–либо кусок совместим с единственной гранью f_k графа . Тогда выберем в этом куске цепь такую, что оба ее конца (и только они) принадлежат . Дополняя ребрами и вершинами этой цепи, получаем , проводя внутри грани f_k.

3. Если каждый из кусков Р_j совместим, по крайней мере, с двумя гранями графа , то можно выбрать цепь в любом из кусков и действовать как в случае 2.