МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ––––––––––––––––––––– ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ” ––––––––––––––––––––– Кафедра “Персональные компьютеры и сети” Смирнов А.М. Дискретная математика Учебное пособие Москва 2014

УДК: 519.1(075.8)

Рекомендовано в качестве учебно-методического пособия редакционно-издательским советом МГУПИ

Рецензенты:

д.т.н., профессор Михайлов Б.М.

Смирнов А.М. Дискретная математика: Учебное пособие. - М.: МГУПИ, 2014. – 69 с.

В данном пособии излагаются подробно такие разделы дискретной математики, как основы теории множеств и основы теории графов. Может быть использовано при выполнении лабораторных и домашних работ, курсовых и дипломных проектов.

Учебное пособие предназначено для подготовки студентов всех форм обучения по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника» профиль 230100.01 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» по дисциплине «Дискретная математика». Пособие может быть полезно для начинающих пользователей, студентов, преподавателей.

Библиограф.: 8 названий.

 Смирнов А.М.

Содержание

Введение …………………………………………………………………………………………………4

1 Множества …………………………………………………………………………………………..5

1.1 Способы определения множеств……………………………………………………5

1.2 Операции надо множествами………………………………………………………...7

1.3 Диаграммы Эйлера-Венна……………………………………………………………..10

1.4 Основные законы и тождества алгебры множеств……………………….11

1.5 Доказательства тождественности формул…………………………………….12

1.6 Соответствия и их свойства…………………………………………………………..13

1.7 Функция, функционал, оператор…………………………………………………..15

1.8 Отображения, преобразования и перестановки……………………………19

1.9 Отношения……………………………………………………………………………………..20

2 Графы…………………………………………………………………………………………………..25

2.1 Вершины, ребра (дуги), графы………………………………………………………25

2.2 Матричная форма представления графов……………………………………..29

2.3 Операции над графами…………………………………………………………………..31

2.4 Маршруты и циклы………………………………………………………………………..33

2.5 Кратчайший маршрут во взвешенном связном графе………………….37

2.6 Обходы графа………………………………………………………………………………….38

2.7 Гамильтоновы графы……………………………………………………………………...41

2.8 Эйлеровы графы………………………………………………………………………………43

2.9 Внешне устойчивые множества вершин графа………………………………44

2.10 Раскраска вершин графа………………………………………………………………..48

2.11 Связность графов…………………………………………………………………………..51

2.12 Определение компонент связности………………………………………………53

2.13 Остов графа……………………………………………………………………………………56

2.14 Планарные графы………………………………………………………………………….58

2.15 Двудольные графы………………………………………………………………………..60

Список литературы ………………………………………………………………………………..68

Введение

Дискретная математика изучает математические модели объектов, процессов и зависимостей, с которыми имеют дело в технике, биологии, социологии и других областях деятельности человека. Их особенность – дискретный и как правило, конечный характер. Это ограничивает возможность использования моделей и методов классической непрерывной математики. Поэтому дискретная математика – самостоятельное направление современной математики.

Дискретная и непрерывная математика взаимно дополняют друг друга. Понятия и методы одной часто используются в другой. Например, системы линейных уравнений как модели непрерывной математики характеризуются конечным множеством линейно независимых уравнений и при определенных условиях конечным множеством решений.

Один и тот же объект может рассматриваться с двух точек зрения и в зависимости от этого выбирается непрерывная или дискретная модель. Так электрическая схема как дискретный объект может быть представлена графом – моделью ее структуры, а как непрерывный объект – вектором значений параметров элементов, соответствующих ребрам графа. На основе этих моделей получают систему линейных или нелинейных уравнений для расчетов токов и напряжений в схеме.

Классическая непрерывная математика развивалась в условиях, когда возникли и требовали решения задачи механики и физики. Дискретная математика сложилась и интенсивно развивается в связи с необходимостью решения задач управления и создания сложных технических систем. Многие задачи, возникшие в прошлом как головоломки, сегодня нашли интерпретацию как задачи управления.

Особенность большинства задач дискретной математики – возможность их решения полным перебором допустимых решений в силу конечного множества их вариантов. Однако с ростом размерности задачи простой перебор достаточно быстро становится бессильным. Для многих важных задач до настоящего времени не найдено эффективных алгоритмов решения. Поэтому ищут «хитрые» алгоритмы для упрощения перебора и определения пусть не точного, а хотя бы приближенного, но хорошего решения.

На сегодняшний день наиболее значимым направлением развития дискретной математики являются информационные технологии. Это объясняется прежде всего необходимостью создания и эксплуатации персональных компьютеров, компьютерных сетей, систем управления, а также автоматизированных средств обработки информации.

1 Множества

Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов. Принадлежность элемента множеству оценивается по наличию у него признаков, характеризующих множество.

1.1 Способы определения множеств

Множество – состоит из элементов. Принадлежность элемента а множеству М обозначается ("а принадлежит М"), не принадлежность – .

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается ), если всякий элемент из А является элементом В (рис 1.1). Если множество A является подмножеством множества B и , то А называется строгим подмножеством (обозначается , читается A включено (содержится) в B).

Рисунок 1.1 – Множество С с подмножествами В и А

Содержательные примеры множеств и их возможные обозначения:

N – множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;

N₁ – множество натуральных чисел, не превосходящих 100;

R – множество действительных чисел.

Из рис. 2.1 видно, что если и , то . такое свойство включения называется транзитивностью.

По поводу равенства множеств можно сказать:

Множества А и В равны, если их элементы совпадают (Определение I), или множества А и В равны, если и (Определение II).

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным (например, множества N, R – бесконечные множества).

Число элементов в конечном множестве А называется его мощностью и обозначается |А|.

Если , то |А| < |B|.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым (обозначается ): | | = 0. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множеством подмножеств некоторого произвольного множества U или его булеаном (обозначается (U)), называется множество, элементами которого являются все подмножества множества U. Оно включает в качестве элементов также пустое множество и само множество U.

Мощность булеана равна

| (U)| = 2ⁿ, где n = |U|.

Таким образом, если множество U состоит из n элементов, то его булеан состоит из 2ⁿ элементов.

В конечном множестве можно задать нижнюю и верхнюю границы, обозначаемые

inf A = m и sup A = M,

соответственно. Здесь A – множество, а m и M некоторые элементы множества (не обязательно числа).

Если , то inf A inf B, а sup A sup B.

Приведем способы задания множеств.

Множества можно задавать перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка – в фигурных скобках. Например, множество А устройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блока a, а также периферийных устройств В (монитора b, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено списком:

А = {а, В} или А = {а, b, с, d}.

Необходим внести следующие уточнения:

1) в списке, задающем множество, одинаковые элементы представляются одним элементом (поэтому в множествах нижняя и верхняя границы единственны).

2) перестановка элементов в списке не изменяет множество.

3) задание типа N = 1, 2, 3, ... – не список, но лишь допустимое условное обозначение.

Следующий метод задания множества – задание с помощью порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки , , где N – множество натуральных чисел, (допустимое обозначение = 1, 2, 4, 8, 16,...) может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами, называемыми рекурсивными:

1) ;

2) если , то .

Последний способ задания множества, это задание описанием характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множества. Обозначается:

М = {х|Р(х)} или М = {х:Р(х)}.

Читается так "Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р". Например, множество B периферийных устройств персонального компьютера может быть определено, как B = {х: х – периферийное устройство персонального компьютера}.

Надежным способом точно описать свойство элементов данного множества является задание распознающей процедуры. Она должна устанавливать для любого объекта x, обладает ли он данным свойством Р (и, следовательно, принадлежит множеству) или нет. Например, распознающей процедурой для множества А всех студентов МГУПИ, имеющих студенческие билеты университета, является проверка его наличия. Тогда множество А может быть представлено более точно: "А – множество всех студентов, имеющих студенческие билеты МГУПИ".

Другой пример: для описания характеристического свойства элементов множества всех целых чисел, являющихся степенями двойки ("быть степенью двойки"), разрешающей процедурой может служить любой метод разложения целых чисел на простые множители.

Тогда , если а = 1 или если а = 2 х 2 х ... х 2 = 2ⁿ, .