Бинарные переменные в задачах оптимизации

Замечание: В рассмотренных выше примерах управляемые переменные (объемы выпуска) имели непрерывные области изменения. Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер управляемых переменных. Переменные, входящие в состав экономико-математической модели, могут принимать дискретное множество значений или всего два значения. Необходимость рассматривать такие переменные возникает в том случае, когда требуется принять во внимание какой-либо качественный признак или выполнение какого-либо особого условия.

Бинарные переменные, как правило, принимают значение «1», если данный качественный признак присутствует в наблюдении, и значение «0» при его отсутствии.

Пример 5.

В Сибири работают четыре химических завода, участвующих в конкурсе на размещение госзаказа по производству изделий пяти наименований в следующих объемах:

Изделие 1 2 3 4 5

Объем, шт. 350 250 400 150 150

Каждый завод разработал несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и определил соответствующие каждому варианту объемы финансирования (лист Исх5):

Необходимо определить, какие заводы примут участие в выполнении госзаказа. Для каждого завода, выполняющего госзаказ, необходимо определить наиболее выгодный вариант участия, исходя из минимизации общего объема финансирования.

Перейти на лист Исх5.

Этапы построения модели:

I этап. Выбор управляемых переменных

В качестве управляемых переменных выбираются бинарные переменные, характеризующие участие заводов в выполнении госзаказов по различным вариантам:

X₁₁ = 1, если первый завод участвует в госзаказе по варианту 1 (иначе – 0);

X₁₂ = 1, если первый завод участвует в госзаказе по варианту 2 (иначе – 0);

X₁₃ = 1, если первый завод участвует в госзаказе по варианту 3 (иначе – 0);

X₂₁ = 1, если второй завод участвует в госзаказе по варианту 1 (иначе – 0);

X₂₂ = 1, если второй завод участвует в госзаказе по варианту 2 (иначе – 0);

X₃₁ = 1, если третий завод участвует в госзаказе по варианту 1 (иначе – 0);

X₃₂ = 1, если третий завод участвует в госзаказе по варианту 2 (иначе – 0);

X₃₃ = 1, если третий завод участвует в госзаказе по варианту 3 (иначе – 0);

X₄₁ = 1, если четвертый завод участвует в госзаказе по варианту 1 (иначе – 0);

X₄₂ = 1, если четвертый завод участвует в госзаказе по варианту 2 (иначе – 0);

Замечание: Место под управляемые переменные зарезервировано в ячейках C14:L14 в специальным образом оформленной таблице на листе Исх5:

II этап. Выбор целевой функции

В качестве целевой функции выбирается общий объем финансирования выполнения госзаказа, который по условию задачи должен быть минимальным:

12 X₁₁ + 16 X₁₂+ 14 X₁₃ – объем финансирования завода 1 в случае его участия в выполнении госзаказа;

7 X₂₁ + 9 X₂₂ – объем финансирования завода 2 в случае его участия в выполнении госзаказа;

16 X₃₁+ 15 X₃₂ + 17 X₃₃ – объем финансирования завода 3 в случае его участия в выполнении госзаказа;

5 X₄₁ + 8 X₄₂ – объем финансирования завода 4 в случае его участия в выполнении госзаказа.

Общий объем финансирования, предоставляемый всем заводам, участвующим в выполнении госзаказа, рассчитывается как сумма вышеприведенных выражений и должен быть минимальным.

Замечание: Место под целевую функцию зарезервировано в ячейке C20:

Выполнить: Выделить ячейку C20. Вызвать мастер функций (меню Вставка – Функция или кнопка рядом со строкой ввода), выбрать функцию СУММПРОИЗВ и заполнить диалоговое окно по образцу:

В результате выполнения этой функции в целевой ячейке появиться нулевое значение, т.к. управляемые переменные пока равны нулю.

I I I этап. Анализ существенных ограничений

В рассматриваемой задаче ресурсные ограничения отсутствуют.

Согласно условию необходимо учесть объем госзаказа по каждому из пяти изделий. Следовательно, математическая модель будет содержать 5 плановых ограничений:

100 X₁₁ + 200 X₁₂ + 200 X₁₃ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 1 в случае его участия в выполнении госзаказа;

50 X₂₁ + 80 X₂₂ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 2 в случае его участия в выполнении госзаказа;

100 X₃₃ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 3 в случае его участия в выполнении госзаказа;

100 X₄₁ + 100 X₄₂ + 50 X₄₃– объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 4 в случае его участия в выполнении госзаказа.

Объем 1-й продукции, выпущенной всеми заводами, представляет собой сумму всех вышеприведенных выражений и должен быть не ниже планового задания (350 шт). Аналогично формируются ожидаемые объемы выпуска для остальных изделий.

Замечание: Место под плановый и фактический выпуск изделий зарезервировано в ячейках N6:N10 и P6:P10 соответственно:

Выполнить: Ввести в ячейки P6:P10 соответственно формулы:

Ячейка	Формула
P6	=СУММПРОИЗВ(C6:L6;$C$14:$L$14)
P7	=СУММПРОИЗВ(C7:L7;$C$14:$L$14)
P8	=СУММПРОИЗВ(C8:L8;$C$14:$L$14)
P9	=СУММПРОИЗВ(C9:L9;$C$14:$L$14)
P10	=СУММПРОИЗВ(C10:L10;$C$14:$L$14)

Замечание: Использование абсолютной адресации позволяет упростить процедуру ввода формул в смежных ячейках. Достаточно ввести формулу в ячейку P6 и методом автозаполнения скопировать ее на другие ячейки.

Помимо плановых ограничений, в модели необходимо учесть тот факт, что завод может принять участие в выполнении госзаказа только по одному из предложенных вариантов. Эти ограничения будем рассматривать как технологические, т.е. сумма переменных, характеризующих участие каждого завода в выполнении госзаказа, не должна превышать 1. Например, для завода 1: X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ ≤ 1.

Замечание: Место под технологические ограничения зарезервировано в ячейках C17:F17:

Выполнить: Ввести в ячейки P6:P10 соответственно формулы:

Ячейка	Формула
C17	=СУММ(C14:E14)
D17	=СУММ(F14:G14)
E17	=СУММ(H14:J14)
F17	=СУММ(K14:L14)

Таким образом, в ячейках электронной таблицы полностью записана экономико-математическая модель решаемой задачи.