Руководство по решению задач формирования оптимальной производственной программы

Пример 1.

Предприятие характеризуется следующими параметрами:

- выпускается N видов продукции;

- используется M видов ресурсов.

Известны:

- цена каждого вида продукции;

- норма затрат каждого вида ресурсов для выпуска единицы каждого вида продукции;

- запас каждого вида ресурсов на текущий период.

Задача: Найти такой план выпуска продукции, для которого суммарная выручка от реализации всех видов продукции будет максимальной.

Необходимая информация по выпуску продукции приведена в таблице на листе Исх книги Модели оптимизации)

Здесь N=5 (пять видов изделий), а M=4 (четыре типа ресурсов). Цены реализации каждого вида продукции находятся в ячейках C9:G9, нормы затрат каждого вида ресурсов – в блоке ячеек C5:G8, а запасы ресурсов – в ячейках H5:H8.

Процедура решения задачи предполагает выполнение следующих этапов.

I этап. Выбор управляемых переменных

В качестве управляемых переменных выбираются те экономические показатели, которые позволяют записать все ограничения, а их численные значения дают ответ на вопрос, поставленный в задаче. Для нашего примера – это объемы выпускаемой продукции:

Xi – объем выпуска i-го вида продукции, i = 1, 2, 3, 4, 5.

Замечание: Место под управляемые переменные зарезервировано в ячейках C13:G13 в специальным образом оформленной таблице на исходном листе Исх:

II этап. Выбор целевой функции

Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или min) для достижения наилучших результатов?

В нашей задаче в качестве целевой функции выбирается суммарная выручка от продаж, а в качестве критерия поиска – максимальное значение этой функции.

Замечание: Место под целевую функцию зарезервировано в ячейке C15:

По условию задачи известна цена реализации каждой единицы новой продукции, поэтому с учетом управляемых переменных можно записать выражение для суммарной выручки от продаж, которую получит предприятие после реализации всех произведенных изделий.

В нашем случае Х₁ – объем выпуска изделия А, его цена – 2 580 р., тогда 2 580 ∙ Х₁ – это ожидаемая денежная сумма от реализации всех произведенных изделий А. После того, как будет найдено численное значение управляемой переменной Х₁, мы будем знать численное значение этой суммы.

Аналогично определяются ожидаемые денежные суммы, получаемые от реализации всех остальных изделий.

В результате можно записать математическое выражение для расчета суммарной выручки от продаж:

Z = 2 580 ∙ Х₁ + 1 780 ∙ Х₂ + 2 850 ∙ Х₃ + 1 480 ∙ Х₄ + 1 700 ∙ Х₅ .

В качестве коэффициентов целевой функции в данной задаче служат значения цен реализации каждого вида изделий. Для построения этой формулы в рамках Excel используется функция СУММПРОИЗВ(). Эта функция возвращает сумму произведений соответствующих элементов диапазонов. В нашем примере – это диапазоны C9:G9 (данные по цене реализации) и C13:G13 (управляемые переменные).

Выполнить: Выделить ячейку C15. Вызвать мастер функций (меню Вставка – Функция или кнопка рядом со строкой ввода), выбрать функцию СУММПРОИЗВ и заполнить диалоговое окно по образцу:

В результате выполнения этой функции в целевой ячейке появиться нулевое значение, т.к. объемы производств изделий пока равны нулю.

I I I этап. Анализ существенных ограничений

Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Например, количество ресурса, затраченного при производстве и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Учесть в математической модели все факторы, оказывающие влияние на выпуск продукции, невозможно, более того, в этом нет необходимости. Следует учесть только те факторы, которые оказывают существенное влияние на принимаемые решения.

Важно:

В оптимизационных моделях различают три типа ограничений:

1) ограниченность имеющихся ресурсов;

2) необходимость достижения экономическими показателями заранее заданных значений (плановые ограничения);

3) технологические соотношения между группами управляемых переменных.

Замечание: Место под фактически израсходованные в процессе производства ресурсы зарезервировано в ячейках J5:J8 специальным образом оформленной таблице:

Согласно условию решаемой задачи ограничены запасы сырья, фонд времени работы оборудования, количество комплектующих и трудоресурсы (т.е. ограничения первого типа). Подобные ограничения не позволяют целевой функции расти до бесконечности.

По условию задачи на одну единицу изделия А затрачивается 6 кг сырья, тогда на весь ожидаемый выпуск изделия А (Х₁) будет затрачено 6 ∙ Х₁ кг. На все выпускаемые изделия В будет затрачено 2 ∙ Х₂ кг и т.п. Таким образом, выражение для расчета ожидаемых затрат сырья имеет вид:

6 ∙ Х₁ + 2 ∙ Х₂ + 7 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 5 ∙ Х₅ .

Поскольку ожидаемые затраты сырья не могут превысить имеющихся запасов сырья, то:

6 ∙ Х₁ + 2 ∙ Х₂ + 7 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 5 ∙ Х₅ ≤ 6 000.

Рассуждая аналогично, запишем ограничения по использованию фонда времени оборудования, комплектующих и трудозатрат:

5 ∙ Х₁ + 3 ∙ Х₂ + 4 ∙ Х₃ + 5 ∙ Х₄ + 4 ∙ Х₅ ≤ 7 500.

4 ∙ Х₁ + 3 ∙ Х₂ + 5 ∙ Х₃ + 2 ∙ Х₄ + 2 ∙ Х₅ ≤ 4 300.

9 ∙ Х₁ + 4 ∙ Х₂ + 5 ∙ Х₃ + 4 ∙ Х₄ + 8 ∙ Х₅ ≤ 11 000.

Левые части этих неравенств представляют собой фактические расходы соответствующих типов ресурсов на ожидаемый выпуск всех видов изделий.

Выполнить: Ввести в ячейки J5:J8 соответственно формулы:

Ячейка	Формула
J5	=СУММПРОИЗВ(C5:G5;C13:G13)
J6	=СУММПРОИЗВ(C6:G6;C13:G13)
J7	=СУММПРОИЗВ(C7:G7;C13:G13)
J8	=СУММПРОИЗВ(C8:G8;C13:G13)

Вопрос: Как с помощью абсолютной адресации упростить ввод формул в ячейки?

Кроме того, в модель должны быть добавлены условия, что объемы производств каждого вида изделий должны быть неотрицательными.

Таким образом, в ячейках электронной таблицы полностью записана экономико-математическая модель решаемой задачи.

Процедура решения задачи в среде Excel

После того, как математическая модель задачи сформирована, можно приступить к процедуре поиска решения.

Выполнить: пункт меню Сервис – Поиск решения.

Заполнить диалоговое окно по образу:

Пояснения: В поле Установить целевую ячейку указывается адрес ячейки, содержащей выражение для расчета целевой функции Z . В поле Равной указывается направление оптимизации, в нашем случае это максимум. В поле Изменяя ячейки указываются адреса ячеек, содержащих управляемые переменные. Поле Ограничения позволяет добавить, изменить и удалить ограничения задачи, используя соответствующие команды с правой стороны поля.

Для ввода ограничения выбрать команду Добавить. В результате диалоговое окно Поиск решения сворачивается и появляется окно диалога Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейку указываются адреса ячеек, содержащих левые части неравенств системы ограничений.

Пояснения: Ограничения, имеющие одинаковый знак (например, все ресурсные ограничения), можно вводить одновременно, ссылаясь на смежный блок клеток электронной таблицы. Например, при вводе ресурсных ограничений в поле Ссылка на ячейку указываются адреса ячеек, содержащих формулы фактических затрат ресурсов – ячейки (J5:J8). В следующем поле выбирается знак ограничения, для ресурсных ограничений это знак «меньше или равно». В поле Ограничения указываются адреса ячеек, содержащих правые части системы ограничений. В нашем случае, при вводе ресурсных ограничений в поле Ограничения указываются адреса ячеек, содержащих значения исходных запасов ресурсов (H5:H8).

Заполнить диалоговое окно Добавление ограничения по образцу:

После ввода ограничений нажать кнопку ОК. Система возвращается в окно диалога Поиск решения.

Для выбора метода решения необходимо нажать кнопку Параметры. В открывшемся окне диалога Параметры поиска решения установить флажки в полях Линейная модель и Неотрицательные значения:

После ввода параметров модели нажать кнопку ОК и система вновь возвращается в окно диалога Поиск решения.

Для получения численного решения задачи следует нажать кнопку Выполнить. В появившемся окне диалога следует в поле Тип отчета отметить позиции Результаты и Устойчивость и нажать ОК:

В результате на листе, содержащем математическую модель задачи, выводится оптимальное решение задачи - значения управляемых переменных, максимальная величина целевой функции и значения фактически используемых ресурсов:

Из таблицы видно, что максимальная выручка от реализации продукции составляет 2990000 рублей, при условии, что будут выпускаться только изделия В и Е в указанных в ячейках D13 и G13 объемах (вопрос о целочисленном решение пока здесь опускаем). Из таблицы по фактически затратам ресурсов видно, что полностью израсходованы ресурсы сырья и комплектующие, а оборудование и трудовые ресурсы оказались в избытке.

Анализ результатов решения

Перед исходным листом в результате решения задачи поиска оптимального решения и выбора форм отчетности были созданы 2 листа отчетов: Отчет по результатам 1 и Отчет по устойчивости 1.

Перейти на лист Отчет по результатам 1. Выполним анализ Отчета по результатам:

Согласно отчету максимальная выручка от реализации, как и на листе с моделью, составляет 2990000 р. Как видно из таблицы Изменяемые ячейки, для получения этой суммы необходимо выпускать изделия В, Е в объемах 863,64, 854,55 соответственно. Изделия А, С и D выпускать нецелесообразно.

В таблице Ограничения столбец Значение содержит числовые значения левых частей ограничений математической модели. В ячейках D22, D23, D24, D25 выведены значения объемов, за­траченных на выпуск продукции ресурсов. В нашем случае, израсходован­ный объем сырья составляет 6 000 кг, оборудование отработало около 6 009 ст.-час, расход комплектующих составил 4 300 шт, а расход трудовых ресурсов - около 10 291 чел.-час.

Ограничения, которые по результатам решения выполняются как строгие равенства, имеют статус «связанное», в противном случае – «не связанное». В столбце Разница указана разница между правой и левой частями ограничений. Для ресурсных ограничений разница определяет неизрасходованный объем соответствующего ресурса. В нашем случае, полностью израсходованы запасы сырья и комплектующих: разница для них равна нулю. Ресурс времени работы оборудования и трудовые ресурсы являются избыточным. Разница между фондом (исходным запасом) времени работы оборудования и израсходованным в процессе производства временем составляет около 1491 ст.-час, а между имеющимися трудовыми ресурсами и фактически использованными – около 709 чел.-час.

Следовательно, на указанное время оборудование может быть загружено дополнительной работой, а рабочие могут быть привлечены на другую работу.