Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ

Исследование устойчивости и точности линейных сау

Методические указания

к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления»

Волгодонск 2012

УДК 519.683(076.5)

Рецензент канд. техн. наук, доц. Кривин В.В.

Составитель: З.О. Кавришвили

Исследование устойчивости и точности линейных САУ: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления»/ВИТИ НИЯУ МИФИ. Волгодонск: ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2012. 13 с.

Методические указания предназначены для студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения направлений подготовки бакалавров 14010062 «Теплоэнергетика и теплотехника».

 ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2012

• Каврищвили З.О., 2012

Цель работы: изучение особенностей практического использования алгебраических и частотных критериев устойчивости для анализа динамики линейных САУ 2-го и 3-го порядков; исследование факторов, влияющих на точность линейных САУ.

1 Краткие теоретические сведения

1.1 Устойчивость линейных сау

Устойчивость является одним из основных требований, предъявляемых к САУ, т.к. неустойчивые САУ неработоспособны. Поэтому важно уметь определять и обеспечивать устойчивость системы, соответствующим выбором ее структуры и параметров.

Введем понятие асимптотической устойчивости – один из видов устойчивости, который мы будем преимущественно рассматривать. Свойство системы прекращать движение и возвращаться к исходному стабильному состоянию после устранения воздействия, выведшего систему из этого состояния, называется асимптотической устойчивостью (в дальнейшем просто устойчивостью).

То есть, если – равновесное состояние системы, – функция времени, описывающая изменение состояния системы при наличии воздействия на нее . Тогда САУ будет являться устойчивой, если после снятия воз­действия состояние системы при будет стремится к своему начальному значению :

, (3.1 а)

или, так как обычно равновесное состояние принимают за начало отсчета :

. (3.1 б)

Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончании воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания около него.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что уравнения вида:

(3.2)

которыми описываются линейные САУ, имеют общее решение:

, (3.3)

Здесь в (3.3) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.2), которое определяет вынужденное движение системы, т.е. под воздействием . А является решением однородного дифференциального уравнения:

. (3.4)

Решение определяет свободное движение системы, т.е. движение, которое не зависит от внешних воздействий и определяется только параметрами системы и начальными условиями (начальным состоянием системы).

Чтобы система могла правильно реагировать на управляющее воздействие , необходимо чтобы выполнялось равенство:

,

а значит должна стремиться к нулю с течением времени:

. (3.5)

Сопоставляя (3.1 б) и (3.5) нетрудно увидеть, что данные условия устойчивости эквивалентны (ведь описывает движение системы без внешнего воздействия). Учитывая тот факт, что вид не зависит от , делаем вывод, что устойчивость линейных систем – это внутреннее их свойство, не зависящее от вида действующих на них возмущений. И поэтому, рассматривая устойчивость линейных САУ можно не указывать вид конкретного возмущающего воздействия и движения системы, при данном воздействии.

Без доказательств отметим, что необходимым и достаточным условием устойчивости линейной САУ является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения:

. (3.6)

Графически корни характеристического уравнения изо­бражаются точками на комплексной плоскости (рис.3.1). Поэтому приведенное определение может быть сформули­ровано и по-иному: система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости (т.е. лежат слева от мнимой оси).

Рис.3.1. Представление корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Если среди корней характеристического уравнения имеются два чисто мнимых корня и , а все остальные находятся в левой полуплоско­сти, система находится на границе устойчивости. Будучи выведенной из состояния равновесия, такая система входит в режим незатухающих гармониче­ских колебаний.

Прямое отыскание кор­ней характеристического уравнения сопряжено с рядом практических трудностей. Поэтому на практике для выяснения того, что все корни имеют отрицательную вещественную часть или нет, используют критерии устойчивости.

Критериями устойчивости называются условия, по которым можно судить об отрицательности вещественных частей корней, не вычисляя их значений.

Существует довольно много критериев устойчивости, которые делятся на две основные группы: алгебраические и частот­ные критерии.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение системы (3.6):

.

Составим определитель Гурвица из коэффициентов уравнения (3.6):

. (3.7)

Алгоритм составления определителя ясен из его струк­туры. По главной диагонали последовательно записыва­ются коэффициентов характеристического уравнения, начиная с и до . Столбцы определителя, начиная от эле­ментов главной диагонали, заполняются вверх по возраста­ющим индексам, вниз – по убывающим. Коэффициенты с индексом меньше нуля или больше заменяются нулями.

Критерий Гурвица гласит: для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диа­гональные миноры определителя Гурвица:

(3.8)

Частотный критерий устойчивости Найквиста. Данный критерий применяется при анализе устойчивости замкнутых САУ, т.е. систем в которых реализована отрицательная обратная связь (рис.3.2).

Рис.3.2. САУ с отрицательной обратной связью

Характеристическое уравнение САУ с отрицательной обратной связью (рис.3.2) получается путем приравнива­ния знаменателя ее передаточной функции

к нулю

, (3.9)

причем передаточная функция разомкнутого контура определяется формулой:

, (3.10)

где и – передаточные функции звеньев цепей прямой и обратной связи соответственно.

Передаточная функция соответствует структуре полученной из исходной замкнутой системы (рис.3.2), если разомкнуть ее сразу после сумматора. При этом получается схема из двух последовательно соединенных звеньев, как это показано на рис.3.3.

Рис.3.3. Вид соединения звеньев после размыкания замкнутого контура.

Далее выполним в замену s = j , получим КЧХ разомкнутой системы . Тогда критерий Найквиста формулируется следующим образом: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после замыкания, если график его КЧХ в разомк­нутом состоянии не охватывает точки (-1, j0).