Тақырып№9.Сызықтық кодтар

Алдыыңғы қарастырылған кодтардың барлығына тән мынадай қасиет бар: екі кодтық сөздің қосындысы немесе айырмасы кодтық сөз болып табылады. Енді осы қасиет арқылы жалпы бір теория құруға болады.Ол үшін F өрісін аламыз. Өрістегі әрбір сөзге n өлшемді кеңістікте векторларын сәйкес қоямыз және оны код деп атаймыз. Осыған сәйкес тексеру шарттарын

(1)

шығарып аламыз.

Егер код (1)-ді қанағаттандырса, оны жұптық қасиетке тексерілген код деп атайды.

(1)-дің шешімдерінің мынадай қасиеті бар:

1. Егер а және b (1) –дің шешімі болса, онда а+b да (1)-ң шешімі болады.

2. (1)- шешімі болсын, онда -да (1)-дің шешімі болады. Бұдан шығатын қорытынды: жұптыққа тексерілген кодтар сызықтық кеңістік құрайды. Мұндай кеңістіктерді сызықтық кодтар деп атайды. Берілген кеңістігінде ішкі кодтық кеңістіктердің өлшемі k-ға тең болса, ол (n,k) сызықтық коды деп аталады.

Сызықтық кодтар - кодтау теориясында негізгі кодтардың бірі. Оның төмендегідей негізгі қасиеттері бар:

1. қатені тез табу, оны оңай жөндеуге болатындығы.

2. жазылатын кодтың қысқалығы.

Сызықтық кодтар практикада жиі қолданылады. Әрбір кодтық сөзге F өрісінде белгілі бір матрицаны сәйкес қоюға болады. Мұндай матрицаны (1)-дің көмегімен құрастыруға болады:

Матрицадағы жолдар – сызықтық тәуелсіз болып табылады.

Негізгі әдебиеттер: [1,2, 4]

Қосымша әдебиеттер:[11, 12]

Тақырып№10. Циклдық кодтар.

Жалпы сызықтық кодтардың ішінде циклдық кодтар, сипатталуы және қолданылуы қарапайым болғандықтан, ең маңызды кодтар болып табылады. Сондықтан циклдық кодтар көптеген маңызды есептерді шығару барысында жиі қолданылады. Мұнда сызықтық кодтағы кодтау және декодтау жағдайлары қысқа түрде беріледі. Декодтаудың, циклдық коды, үшін ең бір қарапайым және оңай әдісі бар. Бұл жерде декодтау әдісін толық меңгеру үшін алгебра курсының аппараты қажет.

1. Векторды цикл бойынша жылжыту.

өрісі.

- циклдық жылжыту.

Мысал: (0 1 1 0 1) (1 0 1 1 0) (0 1 0 1 1)

Циклдық код дегеніміз- өзінің векторы мен бірге цикл бойынша жылжытуды қамтитын сызықтық код, яғни кез келген кодтық вектордың цикл бойынша жылжытып алынған векторы кодтық вектор болып табылады. Циклдық кодтарды қарастыру барысында векторлар үшін қолданылатын амалдар мен бірге мына амалды қарастырамыз: әрбір векторға оның циклдық ығысуын сәйкес қоямыз. Мұнда векторларға сәйкес көпмүшені алып, соларды қарастырып, зерттеу өте ыңғайлы болып табылады.

(2)

Енді a векторы үшін а(х) көпмүшелерін қарастырып зерттейміз.

(3)-ден келесі шығады. Егер х- тің n-дәрежесі циклды құрастырудың элементі болса, онда хⁿ =1. (4)

Егер (4) орындалса, онда 1, х, х²,...,х^n-1 элементтері әр түрлі және сызықтық тәуелсіз болады. Бұл жағдайда х-тің дәрежесін көбейту n модулі бойынша жүзеге асырылады, яғни

x^k x^m = x^r (5)

r =k+ m (mod n)

n=5, k=3, m=4, r =2

(3)-ге (4) –ті қолданамыз, онда а¹(х)=xa(x) циклдық жылжыту кез келген векторды х-тың мәніне көбейту арқылы алынады. (4) пен (5) –ті пайдаланып дәрежесі n-1 –ден аспайтын кез келген екі көпмүшелікті көбейту ережесін қарастырайық:

1-ші вектордың әрбір элементін 2-ші вектордың барлық элементтеріне көбейтіп шығамыз, және х-дің дәрежесін көбейтуде (4) –ші теңдікті қолданамыз.

Негізгі әдебиеттер: [1, 2]

Қосымша әдебиеттер:[12]