Глава 6. Простейшие формулы.

В главе 4 было предложено обозначать всякий угол между p и q как a, а между r и q как b. По теореме косинусов, BC^2=p^2+q^2-2pq\cos {a_1}, аналогично AD^2=q^2+r^2-2qr*cos{b_1}. Так как сумма проекций из B на AC сторон AB и BC равна длине этой стороны, получается такая формула, связывающая cos{b_n} и cos{a_n}:

\cos{b_n}=\frac{q-p(\cos{a_n})}{\sqrt(q^2+p^2-2pq(\cos{a}))}

Аналогично связаны \cos{a_{n+1}} и \cos{b_n}:

\cos{a_{n+1}}=\frac{(q-r(\cos{b}))}{\sqrt(q^2+r^2-2qr(\cos{b}))}.

Заметим, что x_1=|BC-r| и y_1= |AE-p|. Тогда:

Xn=|r-\sqrt{q^2+p^2-2pq\cos{a_n}}|; yn=|p-sqrt{q^2+r^2-2qr\cos{b_n}}|.

Глава 7. Синтетическое доказательство убывания последовательности отклонений.

Докажем все случаи. В данной главе будет приведено два метода доказательства. Необходимость данного решения обосновывается тем, что первый метод даёт дополнительные сведения о соотношениях между последовательностями (следует добавить, что он применим только в случае 1 и частично в случае 2).

Случай 1 (доказан первым методом). Пусть G- проекция B на AC, H- проекция E на AC, I- проекция D на AC, AD пересекает BG в точке F. Тогда: AD>AB, E лежит между A и D, AF<AB=> EH<DI<BG. Но H лежит между G и I. Тогда по теореме Пифагора получается, что DE<BD. Ясно, что обе последовательности- монотонно убывающие.

Случай 2. В этом случае уже не удастся доказать, что DF<BD, зато можно доказать убывание каждой из последовательностей по отдельности. Согласно формуле главы 6, xn+r= scrt(q^2+p^2-2pq*cosan). Так как CD<CB, и всякий отрезок длиной r меньше третьей стороны треугольника, образованного p, q и углом an, an убывает, cosan возрастает, -2pq\{cosa_n} убывает, r постоянно, значит, xn убывает. Согласно другой формуле из этой главы, p-yn=\sqrt{q^2+r^2-2qr\cos{b_n}}. Так как CE>CD и угол ADC- острый, угол AEC< угла ADC, угол же DAC=углу EAC=> b_n возрастает, cos{b_n} убывает, -2qr\cos{b_n} возрастает, p постоянно, значит, y_n убывает.

Докажем теперь методом случая 1, что в случае 2 y_n>x_{n+1}, если AB>BC. Проведём перпендикуляры из D,E,F на AC- DK,EL и GM соответственно. Так как b_2>b_1, CD\sin{b_1}<CG\sin{b_2}. Тогда DK<GM<EL. Опустим из D и F перпендикуляры на EL- соответственно DN и FP. Тогда DE=\frac{EP}{\sin{FAC}} , EF=\frac{FP}{\sin{FCA}}. Ясно, что большее, делённое на меньшее, больше, чем меньшее, делённое на большее. Как видно, в случае другого соотношения элементов в данной ситуации возникнет неопределённость.

Случай 3- самый сложный. Строгим рассуждением докажем, что теорема верна и здесь. Пусть точка F такова, что CF=r и F принадлежит CE. Если бы угол FAC был не меньше угла BAC, точка F либо бы лежала на AB (в случае равенства), либо треугольник AFC содержал бы треугольник ABC. Последнее можно доказать так: по предположению, угол FAC> угла BAC, также угол FCA больше угла BCA. Следовательно, угол AFC<угла ABC, причём СF пересекает AB на его продолжении, так же, как и AF - BC. Ясно, что доказанное невозможно, поскольку r<BC. Следовательно, угол FAC < угла BAC. Если же угол ABC- тупой, всё сводится к первому случаю. Итак, an и в третьем случае убывает, следовательно, поскольку выражение EF через p, q, r и \cos{a_n} то же, {x_n}- убывающая. Доказательство убывания {y_n} для третьего случая, по сути, эквивалентно доказательству убывания {x_n} для четвёртого случая.

Доказательство же четвёртого и пятого случаев в общем аналогично доказательству второго с той лишь разницей, что {x_n}- заезжание. Справедливость этого подтверждается и тем, что выражение для {x_n}- заезжания имеет те же свойства, что и выражение для y_n-заезжания.

Таким образом, доказано убывание двух последовательностей, непосредственно связанных с задачей, для всех случаев. Тот факт, что последовательности ограничены, совсем нетрудно обосновать, используя неравенство треугольника. Ввиду чрезвычайной простоты здесь это доказательство не приводится.