Глава 3. Доказательство для случая с равносторонним треугольником.

Пусть начальные отрезки- AB и AC. Обозначим угол BAC как a; тогда углы при основании треугольника BAC равны (180-a)/2. Далее: угол при основании ACB в треугольнике BAC является одновременно углом при общей вершине боковых сторон треугольника ACD (СD - отрезок, построенный на прямой BC, равный AC), равнобедренного по построению. ADC=EAC (AE- отрезок на прямой AD, равный AC) по свойству равнобедренного треугольника, и опять же: EAC является углом при общей вершине боковых сторон треугольника AEC, и т.д. Найдём все эти углы. Угол ADC= (180-(180-a)/2)/2=90-90/2+a/4; угол AEC=(180-(180-(180-a)/2)/2)/2=90-90/2+90/4-a/8, и т.д.

Ясно, что всякий новый угол при основании можно выразить таким образом. А поскольку дробь a/2*2… приближается к нулю, то речь идёт о геометрической прогрессии с первым членом 90 и знаменателем -1/2 ( поскольку для каждого нового слагаемого добавляется знак «-»). Поскольку угол при основании и является суммой некоторого числа членов этой прогрессии, то находим её сумму, т.е. предельное значение угла. По формуле, сумма её членов равна b/(1-q) (где b- первый член, q- знаменатель). Применительно к данной геометрической прогрессии, S=90/(1-(1/2))=90/(3/2)=90*(2/3)=60. Итак, предельное значение угла-60 градусов. Но поскольку все исследуемые треугольники в задаче по построению равнобедренные, то их предельный случай - равносторонний треугольник, ч.т.д.

Глава 4. Условные обозначения.

Обозначим треугольник ABC (неподвижная сторона AC). AB=p, AC=q, третья сторона искомого треугольника – r (пусть первый отрезок длиной r будет обозначаться CD, а второй отрезок длиной p- AE).

Условимся называть отрезок, концами которого являются концы отрезков длиной p и r в данной конструкции, лежащие на одной прямой с одним из концов неподвижной стороны (и не совпадающие с ним), недостатком, если один из этих концов (p или r) не принадлежит хотя бы одному из этих отрезков, и избытком в противном случае.

Общее название для избытков и недостатков - отклонение.

Пусть любой угол между p и q будет обозначаться как a, а любой угол между q и r- как b.

Пусть индексы для a и b, а также для x и y, будут обозначать количество отрезков длиной p и r, в результате построения которых был получен данный угол или данное отклонение.

Пусть {a_n} и {b_k}- множество соответствующих индексов. Пусть тогда n={1,3,5…2m+1}, а k={2,4,6…2m}

Глава 5. Критерии разбора случаев и примеры.

Выделение критериев разбора случаев в данной задаче лучше всего проводить на основании, являются ли x_n и y_n недостатками или отклониями. При этом следует рассмотреть ровно три отклонения подряд, чтобы доказать, что обе последовательности убывают (в силу произвольности выбора второго начального отрезка как p или как r: как будет показано, результат от этого не зависит).

Первый случай можно проиллюстрировать на примере тупоугольного треугольника (угол ABC- тупой). Если опустить перпендикуляр AA1 на BC, A1, очевидно, будет на продолжении отрезка BC. Точка D же принадлежит BC. Значит, по свойству наклонной, AD>AB. Тогда очевидно, что имеются два недотягивания подряд. Заметим, что угол AEC- тупой, поэтому CE>CD. Таким образом, если имеется два недостатка подряд, третье отклонение будет также недостатком.

Второй случай можно проиллюстрировать на примере остроугольного треугольника, у которого точка D такова, что, если провести высоту AA_1, D принадлежит BA_1, BD - недостаток. Так как AD<AB, DE - избыток. Так как углы ADC и AEC-острые и E лежит на продолжении AD, CE>CD, следовательно, если точка F такова, что CF=r и F принадлежит прямой CE, EF - недостаток.

Третий случай исллюстрируется следующим примером: точка D оказалась такова, что D принадлежит CE, но при этом AB>AD. Тогда EF- избыток.

Четвёртый случай возникает, если первое отклонение - избыток, далее идёт недостаток, далее опять избыток. Пример: СD>r, тогда BD- избыток; пусть треугольник ABC- остроугольный; тогда AD>AB, и DE- недостаток. Если бы дальше шло недостаток всё свелось бы к первому случаю.

Пятый случай может возникнуть при таком расположении: треугольник ABC- тупоугольный, D лежит на продолжении BC. Тогда BD – избыток. Тогда, если угол ADC- тупой, AB>AD, следовательно, DE- избыток. Дальше может быть избыток или недостаток. Если на следующем шаге возникнет недотягивание, то всё сводится либо к первому, либо к четвёртому случаю.

Ясно, что других комбинаций быть не может. Таким образом, всё сводится к исследованию этих пяти случаев.