Работа 1. Исследование задачи Штейнгауза

Введение.

Задача, которую автор собирается решить в данной статье, в несколько изменённом виде была дана в книге известного польского математика Г.Штейнгауза «Задачи и размышления» в задаче 11¹:

«Можно ли построить квадрат с целочисленными сторонами и указать в его плоскости такую точку, чтобы расстояния от этой точки до всех 4 вершин квадрата выражались целыми числами?».

Позднее задача была переформулирована и поставлена так:

«Существует ли внутри единичного квадрата точка, все расстояния от которой до его вершин рациональны?»³.

Автору этой статьи случалось встречать на разных форумах обсуждение данной задачи , в частности, было строго доказано с помощью теории чисел для частного случая, соответствующего точке, удалённой от стороны единичного квадрата на расстояние, равное трети этой стороны; ещё одна реплика была по поводу того, что доказательство найдено для сторон квадрата, и при этом является чрезвычайно трудным; наконец, было сказано, что можно достаточно просто по уравнениям, соответствующим значениям расстояний от точки до

вершин, без дополнительных вычислений определить, что расстояния от точки, существование которой предполагается, до сторон квадрата также должны быть рациональными. Тем не менее, никаких других сведений найти не удалось.³

_______________________________________________________________

1 Штейнгауз, Г. Задачи и размышления. М, 1974

2 см. Статью Википедии, посвящённую открытым проблемам математики, раздел «геометрия»

3 см. Форум dx.dy раздел «Математика», подраздел «Дискуссионные темы» тема «Существование точки X внутри квадрата».

В числе работ, составивших не теоретическую основу, а научный аппарат--работы Лузина и Нестеренко^1,2.

В работе 10 глав: в 1-ой даются необходимые определения; 2-ая,3-ья, 5-ая,7-ая, 8-ая и 9-ая посвящены частным случаем; в 4-ой и 6-ой исследованы две проблемы, первая из них имеет важное значение; в 10-ой дано окончательное доказательство теоремы, отвечающей на поставленный вопрос; наконец, в 11-й даются предложения по обобщению задачи.

Предполагается, что читатель хорошо владеет основами планиметрии.

Параграф 1. Определения.

Примем следующие определения: точки Штейнгауза—точки, которые предположительно являются решением задачи, указанной во введении. Окружности семейства a(w), или окружности типа w—окружности, описанные около равнобедренных треугольников, построенных на стороне единичного квадрат как на основании, с иррациональным синусом угла при общих вершинах их боковых сторон (которые предположительно могут являться точками Штейнгауза); w—частный случай окружности семейства, соответствующий равностороннему треугольнику. Для таких окружностей построим последовательность G(w), обладающую следующими свойствами:

1) Если E—произвольная точка внутри квадрата, то опишем около треугольника CED окружность, которая пересечёт отрезок AG и сторону AD в точках K и M соответственно (другие случаи расположения будут рассмотрены позднее). Назовём это построение построением 1.

2) Назовём последовательность окружностей, получаемых некоторым количеством построений 1 из окружности w, последовательностью окружностей, индуцированных построением 1, или G(w), и введём аналогичное обозначение G{a(w)}.

1 Лузин, Н.Н. Дифференциальное исчисление. М,1958. Глава 1.

2 Нестеренко, Ю.В. Теория чисел. М,2008. Глава 6.

Параграф 2. Окружность, на которой нет точек Штейнгауза.

_________________________________________________________________________________

Пусть DF=a, AF=b, BF=c, CF=d, причём первые две величины рациональные. Посмотрим на чертёж. В нём предполагается, что точки A,F,E,D лежат на одной окружности. Обозначим угол FDA e.Тогда угол FEB равен 75-e. По теореме Ван-Схотена, EF=DF-AF=a-b. Известно также, что BE=BC/2cos{15}. Из треугольника BEF по теореме косинусов находим BF^2=(a-b)^2+1/4cos^2{15}-2(a-b)*1/2cos15*cos(75-e)=(a-b)^2+1/4cos^2{15}-(a-b)cos15(sin15*cose+cos15*sine).

То, что cose рационален, ясно. То, что sine иррационален, ясно из следующих соображений: опустим перпендикуляр FG на сторону AD; по формуле площади треугольника, AF*FD*sin60=FG. Тогда и отношение FG/FD=sine иррационально.

Тогда BF—иррационален.

Таким образом, доказано, что на окружности, описанной около равностороннего треугольника, построенной на стороне единичного квадрата как на основании во внутреннюю сторону, нет удовлетворяющих гипотезе Штейнгауза точек.

Параграф 3. Последовательность окружностей, индуцированная специальным построением, на которых хотя бы две точки не являются точками Штейнгауза.

Если AG,DG и CG одновременно рациональны (случай 1), то sin{CGD} и cos{CGD}—тоже рациональные величины (доказательство ясно из предыдущего). Применим к треугольнику CGD построение 1.

MD=CD*tg{CMD}=1*tg{CGD}, поэтому MD—рациональная величина. AM=1-MD—также величина рациональная. Тогда AK*AG=AM*AD, поэтому AK—рациональная величина. Если sin{GCD}=sin{AKD}—величина рациональная, то легко доказать, что KD—величина иррациональная. Провед ём из точек G и K перпендикуляры GN и KL на сторону AD. Так как AG/AK=GN/KL по обобщённой теореме Фалеса, а AG и AK—величины рациональные, в то время как GN иррационален, ясно, что KL иррационален. Тогда величина AK*KD*sin{AKD}—иррациональна, и в силу рациональности AK и sin{AKD} KD—иррационален.

Поэтому нас будет интересовать случай, когда sin{AKD} иррационален. Как уже понятно , хотя бы одна из величин AG, DG и CG при этом должна быть иррациональной.

Рассмотрим сначала случаи, когда иррационален только один из этих трёх отрезков (случаи 2-4). Сделаем предварительные построения: проведём из точек G и K перпендикуляры на сторону CD--GP и KT соотсветственно.

Если иррационален именно AG, но CG и DG рациональны, ND=GP иррационален; площадь треугольника CGD иррациональна; sin{CGD} иррационален, cos{CGD} рационален, tg{CGD} иррационален; MD иррационален, AM иррационален. Так как AM*MD=AG*AK, то при иррациональности AG получаем рациональное AK. Так же легко получается рациональное DK. Так как MD=KC—величина рациональная, то площадь треугольника CKD рациональна. Теперь необходимо, чтобы sin{CKD}=sin{CGD} был рациональным. Но этого не может быть, поскольку площадь треугольника CGD—величина иррациональная. Поэтому в случае 2 точки Штейнгауза при построении 1 нет.

Если иррационален именно DG, но AG и CG рациональны, cos{ADG} может быть иррационален, и поэтому sin{AKD} может быть иррационален; ND=GP могут быть иррациональны. Поэтому площадь CGD может быть иррациональной, и в силу рациональности CG, в формуле CG*DG*sin{CGD}=GP*CD величина sin{CGD} может принимать как рациональное, так и иррациональное значение. Значит, пока можно утверждать, что в случае 3 несуществование точки Штейнгауза при построении 1 не доказано.

Если иррационален именно CG, но AG и DG рациональны, ясно, что противоречия может не быть, только если и sin{CGD}, и cos{CGD} иррациональны. В этом случае, поскольку PD иррационален и KD*KC*sin{CGD}=PD, CK может быть рациональным. Значит, в случае 4 несуществование точки Штейнгауза при построении 1 не доказано.

Рассмотрим теперь случаи, когда иррациональны сразу два отрезка из множества {AG,DG,CG} (случаи 5-7).

Если одновременно иррациональны AG и DG, ND=GP должен быть иррационален. CK в этом случае рационален, только если sin{CKD} рационален. Значит, площадь треугольника CGD должна быть иррациональна. Однако, sin{CGD}=sin{CKD} должен быть рационален. Противоречия не будет. Значит, в случае 5 несуществование точки Штейнгауза при построении 1 не доказано.

Рассмотрим случай, в котором одновременно иррациональны DG и CG, а AG рационален. В этом случае sin{CGD}=sin{CKD} иррационален, а PD рационаален. Поэтому для рациональности CK требуется рациональность sin{CKD}, в резальтате получаем противоречие. Таким образом, в случае 6 точек Штейнгауза при построении 1 нет.

Рассмотрим случай, в котором одновременно иррациональны AG и CG, а DG иррационален. В этом случае GP=ND может быть рационален. Но sin{CGD} не может быть рационален (иначе рационален DG). При этом, однако, PD должен быть рациональным. Получаем противоречие. Таким образом, в случае 7 точек Штейнгауза при построении 1 нет.

Рассмотрим, наконец, случай (8), когда все отрезки AG, DG, CG иррациональны. Проводя схожие рассуждения, можно пока утверждать, что несуществование точки Штейнгауза в случае 8 не доказано.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику BGC. Если предположить, что все из отрезков AK, BK, CK, DK рациональны, то, по доказанному, площадь треугольника BKC должна быть только иррациональна, т.е. sin{BKС} может быть только иррациональным. Тогда cos(KCD)=sin(KCB) должен быть иррациональным в силу равенства BK/sin{BCK}=BC/sin{BKC} (теорема синусов). Но этого быть не может в силу рациональности KC, KD и CD.

Итак, построением 1 нельзя получить точку, удовлетворяющую гипотезе Штейнгауза.

Ясно, что если теперь применить построение 1 к окружности, полученной этим же построением из окружности w, рассуждение будет аналогичным. Тогда и первую окружность w можно заменить на произвольную окружность семейства a(w).

Таким образом, на всех окружностей семейства {a(w)} не существует даже точек с тремя рациональными расстояниями до вершин квадрата. А для окружностей всей последовательности G{a(w)} верно, что на каждой из них есть по крайней мере две точки с таким свойством.

Параграф 4. Доказатество рациональности расстояний от точки Штейнгауза до сторон квадрата в том случае, если она существует.

Согласно теореме синусов и одной из формул приведения, 1/sin{AED}=AE/sin{ADE}=1/cos{EDC}. По двум формулам площади треугольника, S{AED}=EK*1/2=AE*ED*sin{AED}/2. В силу предполагаемой рациональности AE и ED и легко выводимой рациональности cos{EDC} (через теорему косинусов) получаем, что sin{AED} должен быть рационален, и отрезок EK также должен быть рационален.

Итак, расстояния от точки Штейнгауза до сторон квадрата должны быть рациональными.

Параграф 5. Доказательство несуществования точек Штейнгауза на прямой, содержащей среднюю линию квадрата, через двойное отношение.

H

C

B

G

E

D

A

F

Применим следующую формулу, используемую при метрическом доказательстве инвариантности двойного отношения, связанном с площадью:

(EH/EG):(FH/FG)=(sin{ECG}/sin{ECH}):(sin{FCH}/sin{FCG})¹.

Левая часть должна быть рациональна. Правая принимает вид (после подстановки некоторых известных значений) \sqrt{10}/(5sin{ECH}*sin{FCH}.

Пусть угол HCE равен x. Тогда sin{HCG}=sin{45}*cos{x}-cos{45}*sin{x}, поэтому величина cos{x}-sin{x} должна давать при делении на \sqrt{2} рациональное число. Если sin{x}—величина иррациональная, sin{FCH} должен быть рациональной величиной. Из формулы синусу суммы получаем: sin{FCH}=sin{x}*(3\sqrt{10}/10)+cos{x}*(\sqrt{10}/10). Отсюда получаем выражение sin{x}*(3\sqrt{10}/10)+{k\sqrt{2}+sinx}*(\sqrt{10}/10), где k—рациональное. Итак, sin{x}*(2\sqrt{10}/5)+k\sqrt{5}/5=q. (1). Умножим равенство (1) на 5.

Тогда \sqrt{5}*(2sinx(*\sqrt{2})+k)=q. Не решая уравнения полностью, только заметим, что оно требует равенства sinx*\sqrt{2}=m*\sqrt{5}/5, но это противоречит факту рациональности величины sin{ECG}.

____________________________________________________________________

1 См. Курант, Р., Роббинс, Г. Что такое математика.—М, 1947.

Если же sinx—величина рациональная, sin{FCH} должна быть иррациональна, но этого быть не может, ибо cos{HCG} должен быть рациональным.

Таким образом, не существует точек Штейнгауза на прямой, содержащей среднюю линию единичного квадрата.

Параграф 6 . О характере возрастания числа окружностей последовательности G, получаемых из окружности w и других окружностей семейства совокупностью построений 1.

Заметим, что существуют примеры, когда построение 1 переводит точку окружности семейства a(w) саму в себя. Например, если угол ECD равен углу AED. Предположим теперь, что построение 1, применённое к другому треугольнику из множества A{ AED, AEB, BEC, CED}, опять переведёт точку E в саму себя. Возьмём для примера треугольник AED.

Заметим, что в этом случае сумма углов ECD и EAD равна углу AEC по теореме о вписанном угле. Сумма углов ACD и CAD равна 90 градусов. Обозначим теперь сумму углов ECA и EAC. Тогда 180-a=a+90, откуда a=45, т.е. угол AEC равен 135 градусам. Как известно, такие точки E лежат на окружности с радиусом, равным стороне квадрата, и центром в его вершине. Ясно, что существет всего четыре точки, для которых сразу для всех элементов множества A точка E переводится сама в себя. Получается, что в других случаях их не более трёх.

Поэтому каждый раз построение 1 возможно для всё большего числа треугольников, причём оно имеет характер «полугеометрической прогрессии», у которой предыдущая величина может быть в один, два, три и четыре раза меньше следующей за ней величиной.

Таким образом, построение 1 позволяет получать окружности из последовательности G в количестве, имеющем динамику, подобную динамике геометрической прогрессии. Это-то и даёт надежду.

Параграф 7. Векторы и ещё одно множество точек, не являющихся точками Штейнгауза.

Докажем, что на дуге окружности единичного радиуса с центром в вершине единичного квадрата, заключённой между его сторонами, нет точек Штейнгауза.

Применим скалярное произведение векторов:

|EA|+|AB|=|BE|

|EA|+|AD|=|ED|

EA^2+EA*AD*cosd + EA*AB*sind=BE*ED*\sqrt{2}/2, где угол EAD равен d.

Отсюда выводится следующее правило: если синус и косинус угла EAD рациональны, точка E которого лежит на дуге окружности с единичным радиусом, имеющей центр в одной из вершин квадрата, заключённой между сторонами квадрата, то одно из расстояний BE и ED иррационально, и такие точки E (соответствующие такому углу EAD) не являются точками Штейнгауза. Из параграфа 3 очевидно и то, что на такой дуге вообще нет точек Штейнгауза.

Параграф 8. Пример окружности, не являющейся окружностью семейства a(w), и тем не менее являющейся множеством точек, среди которых нет точек Штейнгауза.

Докажем, что на полуокружности, построенной на стороне единичного квадрата как на диаметре во внутреннюю сторону, нет точек Штейнгауза.

Лемма. На двух соседних сторонах параллелограмма ABCD—BC и CD-- выбрано по одной точке (A1 и B1 соотв.), делящих их в целом отношении; они соединены с двумя противолежащими им вершинами –A и B соответственно. Тогда точка пересечения делит каждый из получившихся отрезков также в целом отношении.

Пусть данная точка- A2. Проведём из вершины C прямую, параллельную AA2, а из вершины D прямую, параллельную BB1. Обозначим точки пересечения всех четырёх прямых (кроме A2): AA1 с DD1 - B2, DD1 с CC1 - C2, CC1 с BB_1 – D2. Тогда, по обобщённой теореме Фалеса, AD1/AB=AB2/AA2=m=B2D1/BA2, где m-целое число. Аналогично BA2/BD2=BA1/BC=n, где n – также целое число. Рассмотрим треугольники AD1B2 и CB1D2. Они равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда легко видеть, что отсюда легко видеть, что BA2/B1D2=k, где k-целое число. Складывая равенства, получаем утверждение.

Теорема: на полуокружности, построенной на стороне квадрата, как на диаметре, во внутреннюю сторону, нет точек Штейнгауза.

Доказательство.

Далее рассмотрим квадрат ABCD и отрезки AA_1, BB_1, CC_1 и DD_1, проходящие через точку E, предположительно являющуюся решением задачи Штейнгауза («существует»); причём отрезки AA_1 и BB_1 перпендикулярны.

Найдём условия существования точки в данной конструкции. Для этого применим к четырёхугольнику AEB_1D теорему Птолемея (он вписанный). Обозначим AE=x, EB_1=y, DB_1=z. Ясно, что если в следующем «рацидиофантовом» уравнении x^2+y^2-z^2=1 (1) все переменные—числа рациональные, то и отрезок ED должен быть рациональным. Если это же рассуждение применить к четырёхугольнику EA_1CB_1, получим, что и отрезок CE должет быть рациональным. Ясно, что из данной точки внутри единичного квадрата две стороны квадрат не могут быть видны под прямым углом так, чтобы все её расстояния до его вершин были рациональными.

Теперь перепишем уравнение (1): (x+y)^2-z^2=1+2xy (2). Обозначим EA_1=u. Получаем аналогичное уравнение: u^2+y^2-(1-z)^2=(1-\sqrt{1-x^2+u^2})^2 (3).

(1+z^2-(1-z)^2)^2=x^2+u^2 (4).

(2z^2+2z)^2=x^2+u^2 (5).

Дальше достаточно сделать замену 2z^2+2z=y, из формулы для пифагоровых троек получаем: x=m^2-n^2, u=2mn, 2z^2+2z=m^2+n^2.

Так как диофантово уравнение второй степени изучено хорошо, легко проверить, что данное уравнение не имеет решений.

Параграф 9. На сторонах квадрата нет точек Штейнгауза.

Воспользуемся той же конструкцией, что и в предыдущем параграфе, с тем отличием, что теперь роль величины a выполняет AF; BF=1-a; sin{AFD}=1/(\sqrt{1+a^2}); cos{AFD}=a/(\sqrt{1+a^2}); sin{BFC}=1/(\sqrt{1+(1-a)^2}); cos{BFC}=(1-a)/(\sqrt{1+(1-a)^2}).

sin{CFD}=sin{AFD}*cos{BFC}+sin{BFC}*cos{AFD}=(1-a)/(\sqrt{1+a^2}*\sqrt{1+(1-a)^2}+1/(\sqrt{1+(1-a)^2}*\sqrt{1+a^2})=(2-a)/(\sqrt{1+a^2}*\sqrt{1+(1-a)^2}). Так как CD*sin{EDC} должен быть рациональным (если AE и DE рациональны; в случае иррациональности одного из них очевидно, что FD—нерационален), то следует решить вопрос иррациональности sin{CFD}. Это тоже диофантово уравнение второй степени, и легко проверить, что данное уравнение не имеет решений.

Параграф 10. Доказательство несуществования точек Штейнгауза.

Как уже было установлено в предыдущем параграфе, sin{CFD}—величина иррациональная. Тогда при рациональности EC из теоремы синусов, применённой к треугольнику FEC, при рациональном EF sin{FCE} должен быть иррациональным. Ясно, что sin{BCE}, а значит, и cos{ECD} иррациональны. Но этого не может быть в силу параграфа 3. Если же EF иррационален, то из теоремы синусов, применённой к треугольнику BEF, снова возникает противоречие (только теперь рациональным не может быть не CE, а BE.

Таким образом доказана следующая теорема: внутри единичного квадрата не существует точки, все расстояния от которой до вершин квадрата рациональны.

Параграф 11. Как метод с теоремой Птолемея может быть применён в обобщении задачи Штейнгауза на случай прямоугольника и формулировка подобного обобщения; другие варианты обобщения. Другие замечания.

Обязательно следует сказать, что автором пока не доказана отрицательность гипотезы для множества точек вне квадрата.

Задачу Штейнгауза можно обобщить ещё так: для какого соотношения сторон существует точка внутри прямоугольника, все четыре расстояния от которой до вершин его рациональны? Сколько может быть таких точек? Может ли их быть бесконечное множество?

Пусть дан прямоугольник ABCD. Построим на его стороне AD как на диаметре полуокружность во внутреннюю сторону, отметим на ней произвольную точку E, которые пересекут без нарушения общности стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Пусть BF=x, BG=y, EF=z, EG=u. Тогда по теореме Пифагора:

X^2+y^2=z^2+u^2

U^2+(\sqrt{a^2+(b-x)^2}-z)^2=(a-y)^2+b^2

…a^2+2sqrt{a^2+(b-x)^2}*z+x^2+y^2=a^2-2ay+y^2+b^2=>

=>2sqrt{a^2+(b-x)^2}=b^2-2ay-x^2=>4(a^2+b^2-2ab+x^2)=(b^2-2ay-x^2)^2, или, после приравнивания b к единице, 4(a^2+1-2a+x^2)=(1-2ay-x^2)^2.

Это уравнение, как видно, решается уже совсем непросто. Однако ясно, что решения у него должны быть, поскольку есть очень простой вариант, когда стороны и диагональ прямоугольника составляют пифагорову тройку чисел. Возможно, есть и другие решения.

Наряду с прямоугольником, автор предлагает следующие варинты обобщения задачи Штейнгауза: правильный многоугольник; куб; прямоугольный параллелепипед 3-d; гиперкуб.

Заметим также, что с помощью параллельного переноса можно теперь легко показать, что ортодиагональный четырёхугольник с равными единичными диагоналями не может иметь только рациональные стороны.

Заключение.

-В работе было доказано, что внутри единичного квадрата не существует точек, все расстояния от которых до вершин квадрата рациональны и рассмотрен вопрос об ослаблении условия до трёх расстояний. Таких точек (с тремя расстояниями) существует бесконечное множество, но их нет на окружностях типа w. Было показано, какие обобщения может иметь задача.

1. Построение целочисленного треугольника меченой линейкой.

Введение.

В данной работе будет исследована геометрическая задача, связанная с пределом. Подобные задачи представляют актуальность в нескольких отношениях. Во-первых, их решение способствует методологическому усовершенствованию интеграции разных математических областей. Во-вторых, эти задачи позволяют выявить формулы последовательности для бесконечного числа однотипных геометрических операций. Наконец, создаются перспективы для обратного действия -представления последовательностей в геометрическом виде.

Данная задача не возникла в результате какого-либо ознакомления с литературой, а чисто эмпирическим путём, поэтому автор не располагает сведениями, разрабатывались ли подобная проблема или подобные методы раньше. В целом представляется, что идеи Богом напрасно не даются, поэтому автор считает именно данную задачу оригинальной.

В работе содержится введение, 10 глав и заключение. В основной части кроме непосредственной постановки вопроса и доказательства содержатся ещё дополнительные сведения о ходе работы над задачей (в главе 2 и главе 3, в которой даётся доказательство, не связанное с общим случаем). В 10 главе отчасти решён вопрос об эффективности построения.

Глава 1. Условие задачи и метод.

Условие: доказать возможность построения целочисленного треугольника меченой линейкой с отмеченным на ней отрезком данной длины следующим методом: на плоскости ставится произвольная точка, из неё проводятся два луча, и на них отмечаются отрезки числом, соответствующим величине двух сторон. Затем выбирается неподвижная сторона, концы сторон соединяются, и на прямой, их соединяющей, от второго конца неподвижной стороны, строится отрезок, равный третьей стороне. При этом соблюдается следующее требование: конец третьей стороны должен лежать в одной полуплоскости со вторым концом второй стороны (не являющейся неподвижной) относительно прямой, содержащей неподвижную сторону. Затем второй конец третьей стороны соединяется с первым концом неподвижной стороны. На прямой, соединяющей их, от него же строится отрезок, равный второй стороне с тем же требованием, что указывалось выше. Это делается сколь угодно большое число раз.

Глава 2.История задачи.

История задачи начинается с 2005 года, второй половины 8 класса. Я чертил дома разные чертежи, в числе которых был один, ставший основой данной задачи. Это был её частный случай для равностороннего треугольника. 25-26 декабря 2010 я доказал этот случай, используя геометрическую прогрессию. В январе 2011 возникла идея обобщения, формулировка её совпадала с условием данной задачи. В январе и феврале 2011 доказано убывание последовательности, связанной с задачей.

По ходу решения задачи менялись критерии разбора случаев. Поначалу я рассматривал 7 случаев. Но ближе к концу лета 2011 я применил другую классификацию и я рассмотрел первоначально 4 случая. Не касаясь содержания, можно сказать, что в первой классификации использовалось больше признаков, чем во втором. 11 апреля 2012 последний раз поменялись критерии (я понял, что случаев для второй классификации 5).

Первые попытки решить задачу с помощью формул относятся к июлю 2011 (до этого они тоже применялись, но, во-первых, были более простые, во-вторых, не давали строгого доказательства). Тогда и была составлена формула последовательности для отклонений (отклонение здесь что-то вроде погрешности, см. далее).

В сентябре задача построения целочисленного треугольника меченой линейкой была решена другим методом - и притом точным - на форуме Мехмата МГУ (в конце первой половины сентября).

К середине апреля 2012 после долгого перерыва задача была, наконец, практически решена. Почти полтора года ушло на решение данной задачи.

21 января 2013 был решён вопрос об эффективности построения. Это послужило интересным дополнением к доказанному.