1.2. Задание № 2 Интерполирование с помощью полинома Лагранжа

Состав задания:

1. В соответствии с номером варианта ( N ) заполнить строку № 3 Таблицы 2.1.

2. Для функции, заданной таблично (строки № 3 и 4 Таблицы 2.1), построить полином Лагранжа. Определить интерполированное значение функции для промежуточных значений аргумента х = 3 и х = 4,5 с помощью полинома Лагранжа

3. Построить график по 6 точкам

4. Определить интерполированное значение функции для промежуточных значений аргумента х = 3 и х = 4,5 с помощью электронных таблиц MS EXCEL и построить график по 6 точкам (с помощью диаграмм MS EXCEL - категория «Точечная»)

5. Оценить погрешность вычислений

6. Составить блок – схему и программу интерполирования полиномом Лагранжа

Исходные данные Таблица 2.1

1	i	0	1	2	3
2	xiT	1	2	4	5
3	xi					xi = xiT + 0,1 N
4	yi	2	1	2	3

Вопросы для самопроверки:

• Задача аппроксимации. Непрерывная и дискретная аппроксимация. Абсолютное и среднеквадратичное отклонение.

• Задача интерполяции. Локальная и глобальная интерполяция.

• Линейная и квадратичная интерполяция.

• Интерполирование полиномом Лагранжа.

• Оценка погрешности интерполяции

Рекомендации по выполнению задания № 2

В примере использованы исходные данные для варианта № 40

1	i	0	1	2	3
2	xiT	1	2	4	5
3	xi	1+0,1∙40 = 5	2+0,1∙40 =6	4+0,1∙40 = 8	5+0,1∙40 = 9	xi = xiT + 0,1 N
4	yi	2	1	2	3

В расчете используются формулы интерполирования полиномом Лагранжа 3-й степени

1. Построение полинома Лагранжа

В соответствии с заданием строится многочлен (полиномом) степени n = 3, единый для всего отрезка [х₀, y₀], принимающий значения во всех узлах сетки, равные значениям исходной функции f(x_i), i = 0, 1, 2, 3.

, (2.1)

г де - коэффициент Лагранжа.

, (2.2)

n = 3 – степень полинома Лагранжа.

Т.о. для расчета по формуле (2.1) необходимо вычислить 4 коэффициента Лагранжа (т.к. в функции, заданной таблично – 4 узловых точки)

Полученные выражения для коэффициентов Лагранжа, а также значения y_i (исходные данные из таблицы 2.1) подставляются в формулу (2.1):

В результате преобразований получено выражение - полином Лагранжа 3-й степени

(2.3)

Определение интерполированного значения функции для промежуточных значений аргумента х = 3 и х = 4,5 с помощью полинома Лагранжа

Значения аргумента х = 3 и х = 4,5 подставляются в формулу (2.3):

д ля х =3

д ля х =4,5

2. Определение интерполированного значения функции для промежуточных значений аргумента х = 3 и х = 4,5 с помощью коэффициентов Лагранжа

Значения аргумента х = 3 и х = 4,5 подставляются в формулы для коэффициентов Лагранжа:

д ля х =3

Полученные выражения для коэффициентов Лагранжа, а также значения y_i (исходные данные из таблицы 2.1) подставляются в формулу (2.1):

Расчет для значения аргумента х = 4,5 выполняется аналогично.