Метод Якоби (простой итерации)

_{Заданная СЛАУ, состоящая из n уравнений с n неизвестными, представлена в скалярной форме (4.1)}

К виду (5.3) можно привести, например, выделением диагональных элементов (для i – строки)

, ^{i = 1, 2, ..., n (5.4)}

Задается произвольный вектор начальных приближений, каждый элемент которого вычисляется по формуле

, i = 1, 2, ..., n (5.5)

Строится последовательность векторов, начиная с

, , ... , ,

Приближения с номером k определяется по формулам

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5.6)

,

Т.е. координаты вектора определяют по формуле

где , i = 1, 2, ..., n (5.7)

Метод Гаусса - Зейделя

_{Заданная СЛАУ, состоящая из n уравнений с n неизвестными, представлена в скалярной форме (4.1)}

В отличие от метода Якоби в этом методе уточненное значение x₁ сразу же используется для вычисления x₂, а x₁ и x₂ для вычисления x₃ и т.д.

Начальные приближения неизвестных задаются по формуле (5.5), т.е.

, , ... , .

Начальные приближения подставляют в 1-е уравнение системы (5.1).

,

затем подставляют , , ... , во 2-е уравнение

,

а , , , ... , в 3-е уравнение и т.д.

Аналогично выполняется 2-я итерация.

Приближения с номером k определяется по формулам

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5.8)

,

Т.е. координаты вектора определяют по формуле

, i = 1, 2, ..., n (5.9)

Для сходимости метода необходимо, чтобы

1. все диагональные элементы были отличны от 0 (a_ii ≠ 0);

2. диагональные элементы значительно преобладали над остальными коэффициентами матрицы А.

В общем случае критерий окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности ε > 0 определяется:

• по абсолютным отклонениям в виде

, i = 1, 2, ..., n (5.10)

• по относительным разностям в виде

Пример 1: решить СЛАУ методом Якоби (простой итерации) при ε = 0,01

5 x₁+ x₂+ x₃ =10;

x₁+4x₂+ x₃ =12;

2x₁+2x₂+3x₃ =15;

Предварительно систему необходимо привести к виду (5.1) выделением диагональных элементов

5 x₁ = -x₂ - x₃ +10; x₁ = -0,2x₂ - 0,2x₃ + 2

4x₂ = -x₁ - x₃ +12; или x₂ = -0,25x₁ - 0,25x₃ + 3

3x₃ = -2x₁ - 2x₂+15; x₃ = -0,6667x₁ - 0,6667x₂ + 5

Задаются начальные приближения по формуле (5.5):

, , .

Последующие приближения выполняются по формулам (5.6)

x ₁ ^k = -0,2x₂ ^k-1 - 0,2x₃ ^k-1 + 2

x₂ ^k = -0,25x₁ ^k-1 - 0,25x₃ ^k-1 + 3

x₃ ^k = -0,6667x₁ ^k-1 -0,6667x₂ ^k-1 + 5

1-я итерация

x₁¹ = - 0,2 ּ x₂ ⁰ - 0,2 ּ x₃ ⁰ + 2 =- 0,2 ּ3 - 0,2ּ 5 + 2 = 0,4

x₂¹ = - 0,25 ּ x₁⁰ – 0,25 ּ x₃ ⁰ +3 = - 0,25 ּ2 – 0,25 ּ 5 +3 = 1,25

x₃¹ = - 0,6667ּ x₁⁰ –0,6667ּ x₂⁰ +5 = - 0,6667ּ2 –0,6667ּ3 +5 = 1,6665

Критерий окончания итерационного процесса

Δ₁¹ =│2 – 0,4│= 1,6 > ε

Δ₂¹ =│3 – 1,25│= 1,75 > ε

Δ₃¹ =│5 – 1,6665│= 3,3335 > ε

Т.к. условия не выполняются, необходимо продолжить вычисления

2-я итерация

x₁² = - 0,2 ּ x₂ ¹ – 0,2ּ x₃ ¹ + 2 = - 0,2 ּ1,25 – 0,2ּ 1,6665 + 2 = 1,4167

x₂² = - 0,25 ּ x₁² – 0,25 ּ x₃ ¹ +3 = -0,25ּ0,4 – 0,25ּ 1,6665 +3 = 2,4834

x₃² = -0,6667ּx₁²–0,6667ּx₂²+5 =-0,6667ּ0,4 – 0,6667ּ 1,25 +5= 3,8999

Δ₁ =│0,4 - 1,4167│= 1,0167 > ε

Δ₂ =│1,25 – 2,4834│= 1,2334 > ε

Δ₃ =│1,6665 – 3,8999│= 2,2334 > ε и т.д.

3-я итерация						4-я итерация
x 13=	0,7233	Δ13=	0,6933	>ε		x14=	1,1858	Δ14=	0,4625	>ε
x23=	1,6708	Δ23=	0,8125	>ε		x24=	2,2192	Δ24=	0,5483	< ε
x33=	2,4000	Δ33=	1,5000	>ε		x34=	3,4039	Δ34=	1,0039	>ε
5-я итерация						6-я итерация
x15=	0,8754	Δ15=	0,3104	>ε		x16=	1,0835	Δ16=	0,2081	>ε
x25=	1,8526	Δ25=	0,3666	< ε		x26=	2,0987	Δ26=	0,2461	< ε
x35=	2,7300	Δ35=	0,6739	>ε		x36=	3,1814	Δ36=	0,4514	>ε
7-я итерация						8-я итерация
x17=	0,9440	Δ17=	0,1395	>ε		x18=	1,0375	Δ18=	0,0935	>ε
x27=	1,9338	Δ27=	0,1649	< ε		x28=	2,0444	Δ28=	0,1106	< ε
x37=	2,8786	Δ37=	0,3028	>ε		x38=	3,0815	Δ38=	0,2029	>ε
9-я итерация						10-я итерация
x19=	0,9748	Δ19=	0,0627	>ε		x110=	1,0169	Δ110=	0,0420	>ε
x29=	1,9702	Δ29=	0,0741	>ε		x210=	2,0199	Δ210=	0,0497	>ε
x39=	2,9454	Δ39=	0,1361	>ε		x310=	3,0366	Δ310=	0,0912	>ε
11-я итерация						12-я итерация
x111=	0,9887	Δ111=	0,0282	>ε		x112=	1,0076	Δ112=	0,0189	>ε
x211=	1,9866	Δ211=	0,0333	>ε		x212=	2,0090	Δ212=	0,0223	>ε
x311=	2,9755	Δ311=	0,0611	>ε		x312=	3,0165	Δ312=	0,0410	>ε
13-я итерация						14-я итерация
x113=	0,9949	Δ113=	0,0127	>ε		x114=	1,0034	Δ114=	0,0085	< ε
x213=	1,9940	Δ213=	0,0150	>ε		x214=	2,0040	Δ214=	0,0100	= ε
x313=	2,9890	Δ313=	0,0275	>ε		x314=	3,0074	Δ314=	0,0184	>ε
15-я итерация						16-я итерация
x115=	0,9977	Δ115=	0,0057	< ε		x116=	1,0015	Δ116=	0,0038	< ε
x215=	1,9973	Δ215=	0,0067	< ε		x216=	2,0018	Δ216=	0,0045	< ε
x315=	2,9950	Δ315=	0,0124	>ε		x316=	3,0033	Δ316=	0,0083	< ε

Условие прекращения итерационного процесса выполнено.

Решением СЛАУ являются значения неизвестных, определенные на последней итерации: x₁ = x₁¹⁶= 1,0015, x₂ = x₂¹⁶=2,0018, x₃ = x₃¹⁶=3,0033

Точное решение СЛАУ x₁ = 1, x_2, = 2, x₃ = 3.

Пример 2: решить СЛАУ методом Гаусса – Зейделя при ε = 0,01

5 x₁+ x₂+ x₃ =10;

x₁+4x₂+ x₃ =12;

2x₁+2x₂+3x₃ =15;

Предварительно систему необходимо привести к виду (5.1) выделением диагональных элементов

5 x₁ = - x₂ - x₃ +10; x₁ = -0,2 x₂ - 0,2 x₃ + 2

4x₂ = - x₁ - x₃ +12; или x₂ = -0,25x₁ - 0,25x₃ + 3

3x₃ = -2x₁ - 2x₂+15; x₃ = -0,6667x₁ - 0,6667x₂ + 5

Задаются начальные приближения по формуле (5.5):

, , .

Последующие приближения выполняются по формулам (5.8)

x ₁ ^k = -0,2x₂ ^k-1 - 0,2 x₃ ^k-1 + 2

x₂ ^k = -0,25x₁ ^k - 0,25x₃ ^k-1 + 3

x₃ ^k = -0,6667x₁ ^k -0,6667x₂ ^k + 5

1-я итерация

x₁¹ = - 0,2 ּ x₂ ⁰ – 0,2ּ x₃ ⁰ + 2=- 0,2 ּ3 – 0,2ּ 5 + 2 = 0,4

x₂¹ = - 0,25 ּ x₁¹ – 0,25 ּ x₃ ⁰ +3 = - 0,25 ּ 0,4 – 0,25 ּ 5 +3 = 1,65

x₃¹ = - 0,6667ּ x₁¹ –0,6667ּ x₂¹ +5 = - 0,6667ּ0,4 - 0,6667ּ1,65+5 = 3,6333

Критерий окончания итерационного процесса

Δ₁¹ =│2 – 0,4│= 1,6 > ε

Δ₂¹ =│3 – 1,65│= 1,35 > ε

Δ₃¹ =│5 – 3,6333│= 1,3667 > ε

Т.к. условия не выполняются, необходимо продолжить вычисления

2-я итерация

x₁² =- 0,2 ּ x₂ ¹ – 0,2ּ x₃ ¹ + 2 = - 0,5 ּ1,65 - 1ּ 3,6333 + 2 = 0,9433

x₂² = - 0,25 ּ x₁² – 0,25 ּ x₃ ¹ +3 = -0,25ּ 0,9433 – 0,25ּ3,6333 +3 = 1,8559

x₃² = -0,6667ּx₁²–0,6667ּx₂²+5 =-0,6667ּ0,9433 –0,6667ּ1,8559+5= 3,1338

Δ₁ =│0,4 -0,9433│= 0,5433 > ε

Δ₂ =│1,65 – 1,8559│= 0,2059 > ε

Δ₃ =│3,6333 – 3,1338│= 0,4995 > ε и т.д.

3-я итерация						4-я итерация
x 13=	1,0021	Δ13=	0,0587	>ε		x14=	1,0025	Δ14=	0,0005	< ε
x23=	1,9660	Δ23=	0,1102	>ε		x24=	1,9940	Δ24=	0,0280	>ε
x33=	3,0213	Δ33=	0,1126	>ε		x34=	3,0023	Δ34=	0,0190	>ε
5-я итерация
x15=	1,0007	Δ15=	0,0018	< ε		Условие прекращения
x25=	1,9992	Δ25=	0,0052	< ε		итерационного процесса
x35=	3,0000	Δ35=	0,0023	< ε		выполнено

Решением СЛАУ являются значения неизвестных, определенные на последней итерации: x₁= x₁⁵= 1,0007, x₂ = x₂⁵ =1,9992, x₃ = x₃⁵ =3,0000

Точное решение СЛАУ x₁ = 1, x_2, = 2, x₃ = 3.