Исходные данные Таблица 4.3
Матрица коэффициентов СЛАУ № 3 (методы Якоби и Гаусса - Зейделя) |
Вектор свободных членов уравнений |
||||||
A = |
5 |
1 |
-2 |
|
b = |
1 |
|
1 |
6 + m |
-1 |
|
12 |
|
||
4 |
6 |
7 + m |
|
15 + m |
|
||
m = 0,2 N |
= 0,01 |
||||||
+ m
0
Вопросы для самопроверки:
- СЛАУ. Скалярная и матричная формы записи.
- Совместная, несовместная и определенная СЛАУ.
- Условие разрешимости СЛАУ.
- Критерий плохой обусловленности СЛАУ, геометрическая интерпретация.
- Точные методы решения СЛАУ.
- Метод Гаусса. Метод прогонки.
- Итерационные методы решения СЛАУ.
- Метод Якоби (простой итерации).
- Метод Гаусса - Зейделя
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений с n неизвестными.
a
11
x
1
+ a12
x
2
+ a13
x
3
+ ... + a1n
x
n
= b 1
a21 x 1 + a 22 x 2 + a23 x 3 + ... + a2n x n = b 2
a31 x 1 + a 32 x 2 + a33 x 3 + ... + a3n x n = b 3 (4.1)
........................
an1 x 1 + an2 x 2 + an3 x 3 + ... + ann x n = b n
где x i – неизвестные, подлежащие определению, aij – коэффициенты при неизвестных; b i - числа, называемые свободными членами (правыми частями) системы уравнений.
Совокупность чисел x 1 = λ1, x 2 = λ2, ..., x n = λ n, удовлетворяющих (4.1) называется решением СЛАУ.
Форма записи системы (4.1) - скалярная
Матричная форма записи системы (4.1) имеет вид
;
А
=
;
x
=
;
b
=
. (4.2)
При решении СЛАУ необходимо решить ряд вопросов, связанных с разрешимостью СЛАУ и выбором метода решения.
- В качестве условия разрешимости СЛАУ рассматривается теорема из курса высшей алгебры:
Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, имеет решение, причем единственное (условие разрешимости СЛАУ необходимое, но не достаточное).
- Выбор метода решения СЛАУ требует рационального подхода. Например, точный метод Крамера требует около n2n! операций умножения и деления.
Т.е. для системы с 20 уравнениями и 20 неизвестными это число составляет 1021. Для современных ЭВМ, выполняющих миллионы операций в сек., для решения такой системы потребуется около 1015 сек. или 3∙106 лет.
Следовательно, для систем высокого порядка требуются методы, приводящие к меньшему числу операций.
Методы решения слау
Методы решения СЛАУ подразделяются на точные и итерационные.