Статистические методы

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить (см. символический образ в табл. 2.1) как бы в виде "размытой" точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые в модели свойства) оператор Ф[S_x]. "Размытую" точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью р ("размыты") и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Напомним, что под вероятностью события понимается p(A)=m/n (де m – число появлений события A, n – общее число опытов), если при n→∞ (m/n)→const.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии а-b, смысл которого - воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей, или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х_i и их вероятностями р_i называют законом распределения и записывают в виде ряда (табл. 2.4).

Дискретные события также представляют в виде зависимостей F(x) (рис. 2.5 а) или p_i(x_i) (рис. 2.5 б). При этом

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распре деления представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения - рис. 2.5 б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения - рис. 2.5 в). В этом случае: р(х)= dF(x)/dx и F(х) = р(х) х, где р(х) - вероятность попадания случайных событий в интервал от х до x+ х.

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования:

закона распределения

и плотности вероятности

В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис. 2.5, более подходящий для соответствующих приложений.

Рис. 2.5.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы. Однако получение закона (даже одномерно го) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками - начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

1-й начальный момент - математическое ожидание или среднее значение случайной величины

2-й центральный момент - дисперсия случайной величины:

На практике иногда используется не дисперсия , а среднее квадратическое отклонение сигма .

Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией - моментом связи; для двумерного распределения обозначаемых соv(х, y), или m_xy, или M[(х-т_х)(у-т_у)].

Можно использовать ковариацию нормированных отклонений -коэффициент корреляции

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того, чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т. е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т. е. с определением, являются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной). Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточно го для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом; уменьшение объема выборки можно получить на основе эргодического свойства, т. е. путем увеличения длительности статистических испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования).

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий:

математическая статистика [7, 2.9, 2.64 и др.], объединяющая различные методы статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляционный, факторный и т. п.);

теория статистических испытаний, основой которой является метод Монте-Карло, а развитием - теория статистического имитационного моделирования;

теория выдвижения и проверки статистических гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии и базирующаяся на общей теории статистических решающих функций А. Вальда [2.8] (частным случаем теории выдвижения гипотез, важным для теории систем, является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации в процессах общения, обучения и др. ситуациях в организационных системах);

теория потенциальной помехоустойчивости, начала которой положены работами В.А.Котельникова, проводимыми независимо от теории решающих функций;

обобщающая последние два направления теория статистических решений, в рамках которой, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений.

Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико-прикладной характер и возникали из потребностей практики. Однако есть и ряд дисциплин, которые носят более выраженный прикладной характер. В их числе: статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая статистика, теория массового обслуживания; а также развившиеся из направлении, возникших на базе аналитических представлений, - стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочно го исследования (исследования репрезентативной выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом.

Понятие о методах дискретной математики.

Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. Если же не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам.

В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием - методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения.

Характеризуемые ниже методы возникали как самостоятельные направления и первоначально развивались параллельно и независимо друг от друга. Но обобщающий аппарат теоретико-множественных представлений оказался настолько удобным средством пояснения основных понятий, а часто и доказательства теорем в математической логике, математической лингвистике и даже в теории графов, что постепенно все эти методы стали объединять в единую область - дискретную математику.

Необходимость в использовании методов дискретной математики возникает в тех случаях, когда алгоритм, который всегда в конечном итоге желательно получить для обеспечения повторяемости процесса принятия решения, не удается сразу представить с помощью аналитических или статистических методов. В этих случаях теоретико-множественные, логические, лингвистические или графические методы помогают зафиксировать в алгоритме опыт или эвристики ЛПР.

В принципе для отражения в алгоритме эвристик допустимы любые неформальные отображения. Однако такие эвристические алгоритмы широкого класса - от ГСП-алгоритмов (ГСН – «грубая сила и невежество») до «хитрых», «жадных» и т. п. алгоритмов (название их соответствует виду эвристики, определяющей способ борьбы с перебором при моделировании решения) - часто оказываются далеко неэффективными, а в ряде случаев не существует алгоритма, который позволил бы получить решение не только с наименьшей трудоемкостью, но и вообще в обозримые сроки. И здесь большую помощь в предварительной оценке реализуемости алгоритма, во введении некоторых формальных правил преобразования, позволяющих применить ЭВМ и ускорить получение решения, могут оказать методы дискретной математики.

Практики и инженеры не любят изучать процессы получения формул и методов, теоремы и тем более их доказательства. А книги по дискретной математике написаны, как правило, с использованием специфических символов и приемов, отличных от классической математики, к которым мы привыкли в школе и в традиционных курсах высшей математики для вузов. В специальных монографиях и даже в учебниках по теории множеств, математической логике и математической лингвистике обычно вводятся символика и правила преобразования и довольно длительное время рассматриваются возможности этих правил, доказываются соответствующие теоремы без иллюстрации практической потребности в них. В то же время при утилитарном подходе к математике знание доказательств ничего не добавляет к знанию результата: важно знать, что и зачем применять.

Поэтому для прикладных целей удобны справочные материалы, являющиеся как бы "выжимками" из обширной литературы по дискретной математике, что мы и пытаемся сделать ниже в форме таблиц, в которых собраны основные отношения теории множеств, функции и теоремы математической логики и т. д. В ряде случаев такие таблицы могут помочь в выборе метода моделирования и в более глубоком ознакомлении с соответствующим направлением дискретной математики.

Кроме того, в области управления, проектирования сложных технических и производственных комплексов все чаще главной проблемой становится создание принципиально новых, нетривиальных моделей, не по аналогии. В таких случаях математика нужна уже не для выбора готового метода расчета, а как средство мышления, формирования понятий.

Такое владение математикой, в том числе и дискретной, требует более глубокого понимания сути методов, умения оценить, какой из методов лучше подходит для формирования модели в конкретной ситуации. Поэтому, разумеется, излагаемое ниже следует рассматривать лишь как введение а сложный мир дискретной математики, которое имеет целью облегчить изучение специальной литературы.

Некоторые понятия даны несколько подробнее только для того, чтобы были поняты прикладные примеры в последующих главах, позволяющие проиллюстрировать возможность представления одной и той же задачи несколькими методами и помочь студентам понять проблему выбора методов моделирования сложных систем и проблемных ситуаций с начальной неопределенностью.

Изложенное поможет также несколько углубить сравнительный анализ МФПС, приведенный в табл. 2.1, которую следует перечитать после ознакомления с мате риалом данного раздела, а лучше - и с обращением к рекомендуемой литературе, на основе которой в учебном процессе и в рамках НИРС студентам целесообразно рекомендовать подготовить рефераты, обзоры литературы по рассматриваемым ниже направлениям дискретной математики.