Вопросы для подготовки
Дифференциальное исчисление
Что называется производной функции одного переменного? Каков ее геометрический, физический и экономический смыслы?
Что называется дифференциалом функции одного переменного, каковы его основные свойства?
Какая функция называется возрастающей (убывающей)? Каковы необходимый, достаточный признаки возрастания (убывания) функции?
Каковы необходимый, достаточные признаки существования экстремума функции?
Какая кривая называется выпуклой (вогнутой)? Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
Каковы необходимый, достаточный признаки существования точки перегиба?
Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?
В каком случае и как применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?
Интегральное исчисление
Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.
Неопределённый интеграл, его свойства
Основные правила и формулы интегрирования
Метод замена переменной (подстановки)
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Разложение рациональной функции на простейшие дроби
Интегрирование простейших дробей
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл
Основные свойства определённого интеграла
Теорема об оценке интеграла
Теорема о среднем
Теорема Ньютона-Лейбница
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление объемов тел вращения
Функции многих переменных
Понятие функции двух переменных
Геометрическое истолкование. Область
определения.Линии уровня, их графическая интерпретация и применение. Исследование линий уровня функции
.Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
Определение и геометрический смысл частных производных.
Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
Дифференцирование сложной функции
где
Понятие полной производной.
Дифференцирование сложной функции где
Касательная плоскость и нормаль к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных.
Производная по направлению. Определение, связь с частными производными. Вывод формулы для нахождения.
Градиент функции, его связь с производной по направлению.
Определение и геометрический смысл полного дифференциала функции
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Свойства дифференцируемой функции: непрерывность, существование частных производных.
Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных.
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
Инвариантность формы и другие свойства полного дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Неявные функции и их дифференцирование.
Уравнение касательной к кривой, задаваемой неявной функцией.
Определение точек экстремума функции Необходимые и достаточные условия экстремума.
Выпуклые множества и выпуклые функции. Особенности экстремума для выпуклых функций. Глобальный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в области.
Условный экстремум. Функция Лагранжа.
Общая теория функции двух переменных на примере ПФ Кобба-Дугласа. (Область определения, график, линии уровня, частные производные и их экономическая интерпретация, эластичность, предельная норма замены, закон убывающей эффективности).
Функция полезности. Задача потребительского выбора. (Понятие полезности, бюджетное множество, функция полезности, ее линии уровня, частные производные и их экономическая интерпретация, закон убывающей полезности, предельная норма замены, задача потребительского выбора и ее решение, точка спроса и ее характеристика).