7.1.2. Аппаратные погрешности при измерении параметров и функционалов.

Функционал - это число которое по определенному правилу ставится в соответствие одной или нескольким функциям, заданным на некотором множестве значений своих аргументов. Таким образом аргументами функционала являются одна или несколько функций. Является средняя мощность на интервале.

Параметр - средняя мощность на интервал t от 0 до Т, выделяющаяся на единичном сопротивлении:

К функционалам функций пространственных координат относятся: площадь плоской фигуры (как двумерный интеграл по заданной области); объем (как трехмерный интеграл); координаты центра тяжести, момент инерции и т.п.

Функционалами являются средние значения любых величин, полученные путем усреднения по всему объему тела (ср. t неравномерно нагретого тела) (тройной интеграл). Большинство упомянутых выше функцоналов могут изменятся с помощью более простых средств измерений, чем ИИС.

При использовании традиционных средств измерения для этого потребуется столько различных измерительных приборов сколько функцоналов надо измерять. В ИИС все функционалы будут определяться по одному и тому же массиву данных.

При измерении функцоналов предполагается, что исследуемый объект характеризуется некоторой формулой, однако целью измерения является определение числового значения одной или нескольких величин, которые по своему смыслу не могут изменяться в процессе измерения. Поэтому задача измерения функционалов практически не отличается от измерительных задач, целью которых является измерение некоторых констант.

Физические величины х_i (i=1, … , n) , описывающие свойства исследуемого объекта удовлетворяют некоторой математической модели, задаваемой уравнением связи

f(x₁,...,xn,t)=0, где f - функциональная зависимость, исследование которой составляет содержание измерительной задачи. Уравнения связи часто записывают в эквивалентном виде.

xn = f(x₁,...,xn-i,t).

Первый вид удобен для дальнейших преобразований, а эквивалентный вид отражает то, что последний аргумент представляет особую важность. В общем случае, в уравнения связи входит время. Объекты, описываемые такими уравнениями, называются динамическими (состояние окружающей среды, напряжение питающей сети и др.). Если же состояние исследуемого объекта не зависит от времени, он называется статическим (поверхности деталей, форма, шероховатость). Строго говоря, все реальные объекты являются динамическими. Понятие статического объекта правомерно в том случае, когда на интервале наблюдения физические величины, описывающие состояние объекта изменяются незначительно. В функциональную зависимость кроме аргументов x(i) и времени могут входить параметры, неразрывно связанные с данной моделью. Тогда уравнение связи записывается так. f(x₁,...,xn, t, a₁,...,am)=0, в эквивалентной форме xn = f(x₁,...,xn-i, t, a₁,...,am) где a₁,...,am – параметры, определяемые видом функциональной модели.

Приведем пример синусоидальной модели сигнала. U(t)=Um*sin( t+ ) Широкое применение данной модели происходит благодаря тому, что синусоидальные сигналы используются в силовых электросетях, а также являются носителями информации в радиоканалах. Математическая модель в виде синусоиды содержит 3 параметра (m = 3):

a₁ = Um - амплитуда

a₂ = – частота

a₃ = – фаза

В отличие от амплитуды и частоты, фаза зачастую не является

целью измерения. Целью измерения может быть разность фаз двух

синусоидальных сигналов одинаковой частоты безотносительно к

абсолютному значению каждой из фаз. Отсюда следует вывод -

параметры функциональной модели разделяются на 2 группы. Это

параметры формы и параметры положения. Другой часто

применяемой математической моделью сигнала является импульс

заданной формы (благодаря широкому применению импульсных сигналов). Например, прямоугольный импульс содержит два параметра формы, это амплитуда (высота) А и длительность (длина) и один параметр

положения, который _o.

Аналогичными параметрами характеризуются импульсы других форм (треугольный, трапецидальный и др.). Импульсы могут быть одиночными или представлять собой периодическую последовательность, для которой появляется еще один параметр формы (период или частота). Еще пример некоторой модели - это плоские и пространственные фигуры - это статические объекты, являющиеся типичными для приборостроения. Любые формы деталей, задаваемые на чертежах, сводятся к совокупности простых фигур. Простейшие фигуры задаются линиями на плоскости и уравнениями связи, в которых входят две координаты (n=2).

Простейшей функциональной моделью плоской фигуры является окружность, задаваемая уравнением (x-x_o)² + (y-y_o)²=R² . Координаты центра - это параметры положения. 3 параметры, m = 3.

В итоге отступления о параметрах и функционалах, приведем пример, ярко иллюстрирующий их различия и одновременно взаимосвязь. Рассмотрим сигнал в виде прямоугольного импульса. Максимальное значение сигнала является функционалом. Амплитуда - параметром. Изобразим форму реального прямоугольного импульса. Если исследуемый сигнал точно совпадает со своей математической моделью, чего никогда не бывает на

практике, то амплитуда совпадает с максимальным значением сигнала. Однако, реальный прямоугольный импульс, как правило, имеет выброс на переднем фронте, и амплитуда оказывается меньше максимального значения.

Исходя из классификаций измерений по методу получения результата, измерения функционалов и параметров следует трактовать как косвенные измерения, если результатом измерения является одна величина у, либо как совместные измерения, если результатом измерений являются m величин (y₁,...,y_n).

Совместные измерения - это измерения двух или более величин для определения зависимости между ними, например, измерения температурного коэффициента линейного расширения, которое проводится путём одновременных измерений температуры образца и соответствующего приращения его длины, а также последующей математической обработки полученных результатов.

Пусть величины (y₁,...,y_n) вычисляются по результатам измерения величин x₁,...,x_n), измеряемых с погрешностями Δx_i. При совместных измерениях величины х_i могут измеряться как прямым так и косвенным методом. При косвенном методе предполагается, что исходные величины измерены прямым методом. Таким образом, y_k = f_k(x₁,...,x_n). k = 1, m <= n.

А ппаратные погрешности косвенных и совместных измерений Δy_k можно выразить в виде линейной комбинации погрешностей прямых измерений:

Это соотношение учитывает только погрешности измерений величин x_i, в которые могут входить и свои методические погрешности. Методические погрешности, обусловленные видом функции f_k не учитываются в формуле 2. Для дисперсии случайной погрешности можно записать:

Г де – среднеквадратичное отклонение случайных погрешностей измерения величин x_i

- коэффициенты взаимной корреляции погрешностей.

При косвенных и совместных измерениях погрешности измерений

исходных величин, измеряемых как правило с помощью разных средств измерений, можно считать независимыми.

( 3)

До сих пор мы не разделяли совместные измерения с косвенными, поскольку все записанные формулы при m = 1 остаются в силе и описывают погрешности косвенных измерений. Однако у совместных измерений есть специфическая особенность, обусловленная тем, что даже при независимости погрешностей величин xi погрешности измерения величин yk в соответствии с формулой (2) будут различными линейными комбинациями одних и тех же величин и, следовательно, будут зависимыми. Для оценки этой зависимости можно использовать корреляционные моменты случайных погрешностей измерения величин y_k, которые вычисляются по формуле, аналогичной формуле (3).

(3)

Для оценки погрешностей измерения функционалов и параметров применимы те же соотношения, однако при этом возникают два практически важных момента:

1. Число аргументов в функциях (1) и число слагаемых в последующих формулах на порядки превышает число аргументов при неавтоматизированных совместных измерениях.

2. Явные аналитические выражения для функций fk могут отсутствовать. Дифференцирование таких функций возможно только численными методами.

В такой ситуации для получения оценки погрешности необходимо использовать методы машинного и статистического моделирования. Модель должна содержать следующие компоненты:

1 Модель исследуемого объекта, которая должна включать в себя все функциональные модели объекта измерения, известные на момент разработки ИИС. Основное назначение этого компонента - моделирование массива исходных данных неискаженных погрешностями измерительных каналов.

2 Математические модели всех измерительных каналов, отражающие их метрологические характеристики и моделирующие систематические и случайные факторы. Эти модели должны соответствовать структуре, приведенной в пункте 6.3 . При этом моделируемые характеристики - импульсная реакция h_ик(τ), номинальная функция преобразования f_ик(х) и характеристики аддитивной погрешности Δ_адд(t) - должны соответствовать экспериментальным данным.

3 Реальный алгоритм сбора и обработки исходных данных, который заимствуется из основного программно-математического обеспечения ИИС, используемого при его нормальной эксплуатации.

Замечание - компоненты 2 и 3 могут изменяться при использовании гибких ИИС

4 Идеальный алгоритм обработки первичной измерительной информации, который необходим, когда реальный алгоритм обработки отличается от идеального. В противном случае он совпадает с третьим компонентом. Этот компонент используется только при анализе методической погрешности.

Третья и четвертая модели не содержат случайных компонентов, то есть являются детерменированными. Модель измерительного канала всегда вероятностная, поскольку аддитивная погрешность содержит случайную составляющую. Модель исследуемого объекта может быть и детерменированной и вероятностной в зависимости от физической природы объекта и детализации его описания.

При исследовании аппаратной погрешности путем моделирования используется следующая схема:

Модель исследуемого объекта (ИО) формирует массив неискаженных данных, поступающих на модель измерительного канала (ИК), которая формирует из него массив реальных данных. Идеальный и реальный массивы исходных данных подвергаются обработке в соответствии с реальным алгоритмом, и полученные результаты сравниваются и анализируются.