Внутрішня ставка доходності і таблиці повернення засобів
Продовжуємо роботу над попереднім прикладом. Нехай, ми дійсно сплатили $400 за дану серію грошових потоків. Внутрішня ставка доходності, ВСД (internal rate of return, IRR), визначається як складна ставка дисконтування r, за якою ЧПС = 0:
.
Ця задача вирішується за допомогою функції ВСД (IRR). Слід зауважити, що функція ВСД приймає в якості аргументів всі грошові потоки даного капіталовкладення, включаючи перше (в даному випадку від’ємне) надходження –$400:
Величина ВСД є складною нормою прибутку від капіталовкладення. Для більш детального розуміння доцільно побудувати наступну таблицю:
У даній таблиці повернення грошових засобів кожне грошове надходження від активу поділяється на дві складові: проценти на суму інвестиції в повернення (погашення) основної суми. Процентна складова на кінець кожного року дорівнює добутку ВСД на суму вкладеного капіталу на початок того ж року. Зверніть увагу, що основна сума на початок останнього року ($92,65 у даному прикладі) дорівнює складової повернення основної суми на кінець того ж року.
За допомогою цієї таблиці можна фактично розрахувати внутрішню ставку доходності. Розглянемо інвестицію, яка зараз коштує $1000 та повністю окупається на кінець 5-го року. Нехай ВСД цієї інвестиції орієнтовно 15%.
Зверніть увагу на осередок (B43), який доданий у цей приклад. Якщо процентна ставка в осередку (B32) дійсно є ВСД, то в осередку (B43) повинно стояти число 0. Для розрахунку ВСД слід використати інструмент «Подбор параметра», який містить пункт меню «Сервис»:
Результат виконання зображено на наступному рисунку:
Звісно, є можливість спростити собі життя, скориставшись функцією ВСД (IRR) :
Неоднозначність рішення для внутрішньої ставки доходності
Для вирішення наступного завдання спочатку треба засвоїти техніку створення таблиць даних у середовищі Microsoft Excel.
Для виконання наступних завдань перейдіть на «Лист 2» Microsoft Excel.
Набір команд, пов’язаних із таблицями даних є потужним інструментом для аналізу чутливості. Microsoft Excel надає можливість створювати таблиці, в яких варіюється одна змінна або дві. Таблиці даних – це функції, що створюють масиви, які динамічно змінюються при внесенні змін у відповідні осередки листа Microsoft Excel.
Розглянемо процес створення одно- та двомірних таблиць даних на листах Microsoft Excel.
Розглянемо проект, початковою вартістю $1150 та сім очікуваних щорічних надходжень грошових засобів. Вони зростають із коефіцієнтом g протягом 1-7-го років так, що грошове надходження, або потік (ДП), у році номер t дорівнює ДПt = ДПt–1 × (1 + g). Знаючи ставку дисконтування r, отримуємо чисту приведену вартість проекту (ЧПС):
.
Внутрішня ставка доходності (ВСД) i – це ставка дисконтування, за якою ЧПС = 0:
.
Наведений розрахунок легко виконується в Microsoft Excel. В наступному прикладі перше грошове надходження дорівнює $234, темп зростання g = 10%, ставка дисконтування r = 15%.
Зверніть увагу на адреси осередків, що містять темп зростання, ставку дисконтування, ЧПС та ВСД. Вони знадобляться у подальших розрахунках.
Нехай, потрібно з’ясувати, як на ЧПС та ВСД впливає зміна темпів зростання. Це можна з’ясувати за допомогою команди «Таблица подстановки» в меню «Данные». Першим кроком буде створення структури таблиці. Формули для ЧПС та ВСД розміщують у верхньому рядку, а змінна, що варіюється (у даному випадку – темп зростання), – у першому стовпці. На цьому етапі таблиця виглядає так, як показано нижче:
Фактична робота таблиці (без заголовків рядків і стовпців) відмічена жирною рамкою. Числа, що стоять безпосередньо під мітками «ЧПС» та «ВСД», отримані за відповідними формулами з попереднього рисунку. Так, якщо осередок B9 містить розрахунок ЧПС, то осередок під буквами «ЧПС» (C17) містить формулу =B9. Аналогічно, якщо осередок B10 містить розрахунок ВСД, то осередок під заголовком «ВСД» (D17) містить формулу =B10.
Отже, слід розуміти, що лист, який містить таблицю даних, складається з двох логічних частин:
1. Основний приклад.
2. Таблиця, що виконує аналіз чутливості основного прикладу. У нашому випадку перший рядок таблиці містить посилання на розрахунок, який виконано у основному прикладі.
Тепер виконайте наступні дії.
1. Виділіть область таблиці, що обведена жирною рамкою.
2. Виберіть у меню «Данные» команду «Таблица подстановки». Відкриється діалогове вікно, де слід вказати підстановку значень за стовпцями чи/або за рядками.
В нашому випадку змінна, що варіюється, знаходиться у лівому стовпці таблиці, тому залишаємо поле «Подставлять значения по столбцам» порожнім, та вказуємо осередок B2, що містить темп зростання, у полі «Подставлять значения по строкам». Результат виконання операції наведено нижче:
За допомогою описаної команди можна варіювати одну формулу, змінюючи в ній два параметри. Нехай, тепер необхідно розрахувати ЧПС грошових надходжень для різних темпів зростання та ставок дисконтування. Для цього створимо таблицю, наведену нижче:
У верхньому лівому куті таблиці знаходиться формула =B9, яка містить посилання на основний приклад.
Тепер знов скористаємося командою «Таблица подстановки». На цей раз заповнюємо як поле «Подставлять значения по столбцам» – вказуємо в ньому осередок B3, що містить ставку дисконтування, так і поле «Подставлять значения по строкам» – вказуємо в ньому осередок B2, що містить темп зростання грошових надходжень.
Результат виконання даної операції наведено нижче:
Таким чином, опановано техніку створення таблиць даних у Microsoft Excel.
Наступні завдання слід продовжувати виконувати на «Лист 1» Microsoft Excel.
Повернемося до основного завдання – знаходження неоднозначного рішення для внутрішньої ставки дисконтування.
Іноді для грошових потоків існує кілька значень ВСД. В наступному прикладі можна точно сказати, що послідовність грошових надходжень у осередках C68:C73 має дві можливих ВСД, оскільки графік величини ВСД двічі перетинає вісь x.
Функція ВСД (IRR) програми Microsoft Excel дозволяє добавити аргумент, за допомогою якого можна знайти обидві величини ВСД. Для цього замість запису ВСД (C68:C73) слід записати ВСД (C68:C73, нач_приближ). Аргумент нач_приближ – це початкове наближення для алгоритму, за яким Microsoft Excel розраховує ВСД. Варіюючи початкове наближення, можна визначити обидві шукані величини. Це ілюструють осередки B101 та B102.
Зробимо два зауваження стосовно цієї процедури.
1. Аргумент нач_приближ повинен бути достатньо наближений до ВСД, оскільки рішення не одно. Наприклад, якщо встановити початкове значення наближення 0,1 або 0,5, отримаємо ті ж значення ВСД, що першого разу:
Виконайте відповідні розрахунки ВСД із вказаними наближеннями (0,1 та 0,5), поверніть результати попередніх розрахунків.
2. Щоб визначити порядковий номер і приблизне числове значення ВСД, зручно будувати графік ВСД даної інвестиції як функцію від різних ставок дисконтування (як було зроблено вище). Внутрішні ставки доходності (ВСД) будуть відповідати точкам, в яких графік перетинає вісь x, а наближені координати точок слід задавати в якості початкових наближень функції ВСД (на графіку точки перетину з віссю x відповідно 10% і 27% – це і є значення наближень, тобто 0,1 та 0,27). Якщо не задавати початкове наближення, Microsoft Excel за замовченням прийме його за 0. Тоді у нашому прикладі вираз ВСД(C68:C73) надасть 8,78%.
З технічної точки зору послідовність потоків грошових засобів може мати кілька ВСД тільки у тому випадку, якщо наявні хоча б дві зміни знаку. Розглянемо, наприклад, придбання облігації з 10% купоном, номінальною вартістю $1000 та восьмирічним терміном сплати. Якщо поточна ринкова ціна облігації складає $800, то потік грошових засобів змінює знак лише один раз (з від’ємного у нульовому році на позитивний у роках із першого по восьмий). Для такого випадку існує лише одно значення ВСД:
