5. Численное дифференцирование

Краткая теория:

Пусть имеется функция f(x) которую необходимо продифференцировать и найти эту производную в некоторой точке. Простейшая идея численного дифференцирования состоит в аппроксимации (приближении) производной с помощью отношения конечных разностей.

Пусть функция f(x) задана таблично: y=f(x)= y₀, y₁, y₂, …, y_n в точках x₀ , x₁, x₂, …x_n.

Вычисление производных:

с помощью левых разностей;

с помощью правых разностей;

с помощью центральных разностей;

Величина называется второй разностной производной.

Решение задачи:

Найти первую производную функции, заданной таблично (см.п.3) в точке х=4 методом центральных разностей. Оценить погрешность.

Решение:

Расчет производной по исходным данным (см. Таблица 1):

а)

Уменьшив шаг h и получив промежуточные значения с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (см. Таблица 2), можно получить значение производной:

б)

С аналогичным шагом h=0,2 можно получить значения функции, заданной таблично, с помощью аппроксимации методом наименьших квадратов (см. Таблица 3), и затем получить значение производной:

в)

Такой большой разброс значений производных можно объяснить большим шагом для вычисления разности.

Если из условия задачи следует, что за реальное поведение системы можно принять поведение системы, описываемое с помощью аппроксимирующей функции (см. п.4), а отклонение от заданных начальных значений (см. Таблица 1 и Рисунок 2) объясняется, например, погрешностью измерения, то реальное значение производной функции можно рассчитать как производную аппроксимирующей функции в заданной точке:

’(x) = (1,25-6*sin(x)-0,63*x)’ = -6*cos(x)-0,63

’(4) = -6*cos(4)-0,63=3,29

Но данный способ не приемлем в случае, если вид аппроксимирующей функции сложен и аналитически найти вид производной не представляется возможным, поэтому и требуются вычисления, произведенные выше.

Вычисление погрешности:

а)

б)

в)

Но если из условия задачи следует, что за реальное поведение системы следует принять поведение системы, описываемое с помощью интерполяционного многочлена (см. п.3), то и реальное значение производной функции можно рассчитать как производную интерполирующей функции. Тогда соответствующее значение производной (б) будет более точным.

6. Численное интегрирование

Краткая теория:

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла является разбиение отрезка [a, b] на n равных частей а = х₀ < х₁< . . . < х_n = b c шагом h, интерполирование функции y =f(x) на отрезке [a,b] и замена интеграла интегральной суммой:

,

где a_i  числовые коэффициенты.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена φ(x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции и др.

Для вычисления значения интегралов используют формулы:

1. формула прямоугольников:

- по левым точкам

- по правым точкам

- по средним точкам

2. формула трапеций:

3. формула Симпсона (n - четное число):

Решение задачи:

Найти интеграл функции, полученной в п.3, на отрезке [0,8] методом трапеций. Оценить погрешность.

Решение:

а) По условию задачи:

хi	y
0	0
2	-4.4
4	4.6
6	-1.7
8	-10

Тогда по методу трапеций можно получить значение интеграла:

б) Метод трапеций по интерполяционному многочлену Лагранжа:

в) Метод трапеций по аппроксимации методом наименьших квадратов:

Аналогично п.5, если из условия задачи следует, что за реальное поведение системы можно принять поведение системы, описываемое с помощью аппроксимирующей функции (см. п.4), то реальное значение интеграла функции на данном отрезке можно рассчитать как интеграл аппроксимирующей функции на данном отрезке:

Вычисление погрешности:

а)

б)

в)