Интерполяция
Краткая теория:
Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией φ(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках xk. Существует множество способов поиска интерполирующей функции: интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционный многочлен Ньютона, интерполирование сплайнами и др.
Интерполяционный многочлен Лагранжа: пусть на отрезке [a,b] некоторая функция f(x) задана лишь в некоторых точках a x0<x1<…<xn b, т.е. известны ее значения yi=f(xi), i=0, 1, … n, которые, как правило, собирают в таблицу. Кроме того, пусть задана некоторая точка c[a,b]. Задача состоит в том, чтобы по имеющейся таблице найти число f(c) с известной степенью точности.
Вычисление значения f(c) производят по формуле:
.
Этот многочлен называется многочленом Лагранжа таблицы значений функции.
Интерполяционный полином Ньютона: выражает многочлен Pn(x) через значение f(x) в одном из узлов и через разделенные разности функции f(x), построенные по узлам xj . Разделенными разностями первого порядка называются отношения
.
По разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка:
,
,
.
Аналогично определяются разделенных разностей более высокого (k+1)-ого порядка по уже известным разностям порядка k:
Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид:
Решение задачи:
Построить график интерполяционного многочлена Лагранжа, если заданы точки:
Таблица 1 – Координаты точек
-
х
y
0
0
2
-4.4
4
4.6
6
-1.7
8
-10
Решение:
Требуется подставить данные таблицы в формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:
Упростив выражение и подставив промежуточные значения из данного отрезка [0;8], данные можно свести в таблицу.
Таблица 2 – Промежуточные значения функции, полученные с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
0,00 |
0,00 |
2,00 |
-4,40 |
4,00 |
4,60 |
6,00 |
-1,70 |
0,20 |
-2,73 |
2,20 |
-3,30 |
4,20 |
4,77 |
6,20 |
-3,02 |
0,40 |
-4,74 |
2,40 |
-2,15 |
4,40 |
4,74 |
6,40 |
-4,36 |
0,60 |
-6,12 |
2,60 |
-0,99 |
4,60 |
4,52 |
6,60 |
-5,68 |
0,80 |
-6,95 |
2,80 |
0,14 |
4,80 |
4,11 |
6,80 |
-6,94 |
1,00 |
-7,31 |
3,00 |
1,20 |
5,00 |
3,52 |
7,00 |
-8,07 |
1,20 |
-7,27 |
3,20 |
2,17 |
5,20 |
2,75 |
7,20 |
-9,04 |
1,40 |
-6,89 |
3,40 |
3,01 |
5,40 |
1,82 |
7,40 |
-9,78 |
1,60 |
-6,25 |
3,60 |
3,71 |
5,60 |
0,75 |
7,60 |
-10,23 |
1,80 |
-5,40 |
3,80 |
4,24 |
5,80 |
-0,43 |
7,80 |
-10,33 |
|
8,00 |
-10,00 |
|||||
График интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид, представленный на Рисунке 1.
Рисунок 1 – Интерполяционный многочлен Лагранжа